Question

10．如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，以AB为边向外作等边△ABE，与直线AD交于点F．
（1）求∠DCF；
（2）若AF=9，DF=2，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）连接BF，在FE上截取FH=BF，连接BH，易证△ABF≌△ACF，即可求得BF=CF、∠ACF=∠ABF，求出∠AEF=∠ACE=∠ABF，求出A、E、B、F四点共圆，求出∠BFE=∠BAE=60°，根据三角形外角性质求出∠DCF即可；
（2）求出△BFH是等边三角形，根据等边四边形的性质求出BF=HF=BH，求出CF长，进而可以求证△EBH≌△ABF，即可求得EH=AF=9，即可求得EF的长．

解答 解：（1）连接BF，在FE上截取FH=BF，连接BH，

∵AB=AC，AD是BC中线，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABF和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAD}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ACF（SAS），
∴BF=CF，∠ACF=∠ABF，
∵AC=AB=AE，
∴∠ACF=∠AEF，
∴∠AEF=∠ABF，
∴A、E、B、F四点共圆，
∴∠BFE=∠EAB=60°，
∵FH=BF，
∴∠BFH=∠BHF=60°，
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴BF=CF，
∴∠DCF=∠DBF，
∵∠DCF+∠DBF=∠BFH=60°，
∴∠DCF=30°；

（2）∵AD⊥BC，∠DCF=30°，DF=2，
∴CF=2DF=4，
∵由（1）知BF=CF，
∴BF=4，
∵BF=BH，∠BFH=60°，
∴△BFH为等边三角形，
∴BF=FH=BH=4，∠FBH=∠EBA=60°，
∴∠ABF=∠EBH=60°-∠ABH，
在△EBH和△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EB=AB}\\{∠EBH=∠ABF}\\{HB=FB}\end{array}\right.$，
∴△EBH≌△ABF（SAS），
∴EH=AF，
∵AF=9，
∴EH=9，
∴EF=EH+HF=9+4=13．

点评 本题考查了全等三角形的判定，等边三角形的性质和判定等知识点，还考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ABF≌△ACF和△EBH≌△ABF是解题的关键．