Question

如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．下列条件：①∠A+∠B=90°；②AB²=AC²+BC²；③

AC

AB

=

CD

BD

；④CD²=AD•BD，其中能证明△ABC是直角三角形的有

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,三角形内角和定理,勾股定理

专题：

分析：①可利用三角形内角和求得∠ACB=90°；②可由勾股定理的逆定理求得；③AC、AB的夹角为∠A，CD、BD的夹角为∠CDB，并不能得到△CBD∽△ACB；④可证得△ACD∽△CBD，可得∠A=∠BCD，且∠BCD+∠B=90°，可得∠A+∠B=90°．

解答：解：
①∵∠A+∠B=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC为直角三角形；
②∵AB²=AC²+BC²，
∴△ABC为直角三角形；
③∵AC、AB的夹角为∠A，CD、BD的夹角为∠CDB，
且∠A≠∠CDB，
∴△CDB和△ACB不相似，
∴△ABC不一定是直角三角形；
④∵CD²=AD•BD，
∴

CD

AD

=

BD

CD

，
∴△CBD∽△ACD，
∴∠A=∠BCD，且∠BCD+∠B=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴△ABC为直角三角形；
故答案为：①②④．

点评：本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握直角三形角形的判定方法有①有一个角为直角（或两锐角互余），②勾股定理的逆定理是解题的关键．