Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝4∠BAC．延长BC到点D，使CD＝CB，连接AD，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F．

（1）依题意补全图形；

（2）求证：∠B＝2∠BAD；

（3）用等式表示线段EA，EB和DB之间的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）EA＝EB+DB，见解析.

【解析】

（1）根据要求作图即可；

（2）由∠ACB＝90°，CD＝CB知AD＝AB．据此得∠BAD＝2∠BAC．结合∠B＝4∠BAC可得答案；

（3）在EA上截取EG＝EB，连接DG．由DE⊥AB知DG＝DB．从而得∠DGB＝∠B．结合∠B＝2∠BAD知∠DGB＝2∠BAD．由∠DGB＝∠BAD+∠ADG知∠BAD＝∠ADG．从而得GA＝GD、GA＝DB．继而可得答案．

（1）补全图形如图：

（2）证明：∵∠ACB＝90°，CD＝CB，

∴AD＝AB．

∴∠BAD＝2∠BAC．

∵∠B＝4∠BAC，

∴∠B＝2∠BAD．

（3）EA＝EB+DB，

证明：在EA上截取EG＝EB，连接DG．

∵DE⊥AB，

∴DG＝DB．

∴∠DGB＝∠B．

∵∠B＝2∠BAD，

∴∠DGB＝2∠BAD．

∵∠DGB＝∠BAD+∠ADG，

∴∠BAD＝∠ADG．

∴GA＝GD．

∴GA＝DB．

∴EA＝EG+AG＝EB+DB．