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【题目】如图,已知OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上,O是坐标原点,则对角线OB长的最小值为

【答案】5
【解析】解:过点B作BD⊥直线x=4,交直线x=4于点D,过点B作BE⊥x轴,交x轴于点E,直线x=1与OC交于点M,与x轴交于点F,直线x=4与AB交于点N,如图: ∵四边形OABC是平行四边形,
∴∠OAB=∠BCO,OC∥AB,OA=BC,
∵直线x=1与直线x=4均垂直于x轴,
∴AM∥CN,
∴四边形ANCM是平行四边形,
∴∠MAN=∠NCM,
∴∠OAF=∠BCD,
∵∠OFA=∠BDC=90°,
∴∠FOA=∠DBC,
在△OAF和△BCD中,

∴△OAF≌△BCD.
∴BD=OF=1,
∴OE=4+1=5,
∴OB=
由于OE的长不变,所以当BE最小时(即B点在x轴上),OB取得最小值,最小值为OB=OE=5.
故答案为:5.

过点B作BD⊥直线x=4,交直线x=4于点D,过点B作BE⊥x轴,交x轴于点E.则OB= .由于四边形OABC是平行四边形,所以OA=BC,又由平行四边形的性质可推得∠OAF=∠BCD,则可证明△OAF≌△BCD,所以OE的长固定不变,当BE最小时,OB取得最小值,从而可求.

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(1)求 的值及抛物线的解析式
(2)P为抛物线上的点,点P关于直线AB的对称轴点在 轴上,求点P的坐标
(3)点D为 轴上方抛物线上的一点,点E为轴上一点,以A 、B、E、D为顶点的四边为平行四边形时,直接写出点E的坐标。

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(1)求b、c的值;
(2)如图1,点D为AC的中点,点E在线段BD上,且BE=2ED,连接CE并延长交抛物线于点M,求点M的坐标;
(3)将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G,连接CG,如图2,P为△ACG内一点,连接PA、PC、PG,分别以AP、AG为边,在他们的左侧作等边△APR,等边△AGQ,连接QR
①求证:PG=RQ;
②求PA+PC+PG的最小值,并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标.

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【题目】某校为了解全校学生上学期参加社区活动的情况,学校随机调查了本校50名学生参加社区活动的次数,并将调查所得的数据整理如下: 参加社区活动次数的频数、频率分布表

活动次数x

频数

频率

0<x≤3

10

0.20

3<x≤6

a

0.24

6<x≤9

16

0.32

9<x≤12

6

0.12

12<x≤15

m

b

15<x≤18

2

n

根据以上图表信息,解答下列问题:

(1)表中a= , b=
(2)请把频数分布直方图补充完整(画图后请标注相应的数据);
(3)若该校共有1200名学生,请估计该校在上学期参加社区活动超过6次的学生有多少人?

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【题目】平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2+bx+c经过(﹣1,m2+2m+1)、(0,m2+2m+2)两点,其中m为常数.
(1)求b的值,并用含m的代数式表示c;
(2)若抛物线y=x2+bx+c与x轴有公共点,求m的值;
(3)设(a,y1)、(a+2,y2)是抛物线y=x2+bx+c上的两点,请比较y2﹣y1与0的大小,并说明理由.

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A.
B.
C.
D.

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