【题目】如图1,已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点,且与x轴交于另一点C.
(1)求b、c的值;
(2)如图1,点D为AC的中点,点E在线段BD上,且BE=2ED,连接CE并延长交抛物线于点M,求点M的坐标;
(3)将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G,连接CG,如图2,P为△ACG内一点,连接PA、PC、PG,分别以AP、AG为边,在他们的左侧作等边△APR,等边△AGQ,连接QR
①求证:PG=RQ;
②求PA+PC+PG的最小值,并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标.
【答案】
(1)
解:∵一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,
∴A(﹣3,0),B(0,3),
∵抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点,
∴ 解得 ,
∴b=﹣2,c=3
(2)
解:对于抛物线y=﹣x2﹣2x+3,令y=0,则﹣x2﹣2x+3=0,解得x=﹣3或1,
∴点C坐标(1,0),
∵AD=DC=2,
∴点D坐标(﹣1,0),
∵BE=2ED,
∴点E坐标(﹣ ,1),
设直线CE为y=kx+b,把E、C代入得到 解得 ,
∴直线CE为y=﹣ x+ ,
由 解得 或 ,
∴点M坐标(﹣ , )
(3)
解:①∵△AGQ,△APR是等边三角形,
∴AP=AR,AQ=AG,∠QAC=∠RAP=60°,
∴∠QAR=∠GAP,
在△QAR和△GAP中,
,
∴△QAR≌△GAP,
∴QR=PG.
②如图3中,∵PA+PB+PC=QR+PR+PC=QC,
∴当Q、R、P、C共线时,PA+PG+PC最小,
作QN⊥OA于N,AM⊥QC于M,PK⊥OA于K.
∵∠GAO=60°,AO=3,
∴AG=QG=AQ=6,∠AGO=30°,
∵∠QGA=60°,
∴∠QGO=90°,
∴点Q坐标(﹣6,3 ),
在RT△QCN中,QN=3 ,CN=7,∠QNC=90°,
∴QC= =2 ,
∵sin∠ACM= = ,
∴AM= ,
∵△APR是等边三角形,
∴∠APM=60°,∵PM=PR,cos30°= ,
∴AP= ,PM=RM=
∴MC= = ,
∴PC=CM﹣PM= ,
∵ = = ,
∴CK= ,PK= ,
∴OK=CK﹣CO= ,
∴点P坐标(﹣ , ).
∴PA+PC+PG的最小值为2 ,此时点P的坐标(﹣ , ).
【解析】(1)把A(﹣3,0),B(0,3)代入抛物线y=﹣x2+bx+c即可解决问题.(2)首先求出A、C、D坐标,根据BE=2ED,求出点E坐标,求出直线CE,利用方程组求交点坐标M.(3)①欲证明PG=QR,只要证明△QAR≌△GAP即可.②当Q、R、P、C共线时,PA+PG+PC最小,作QN⊥OA于N,AM⊥QC于M,PK⊥OA于K,由sin∠ACM= = 求出AM,CM,利用等边三角形性质求出AP、PM、PC,由此即可解决问题.
【考点精析】掌握二次函数的图象和二次函数的性质是解答本题的根本,需要知道二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点;增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.
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【题目】计算下列各式.
(1)(﹣2)3﹣|2﹣5|﹣(﹣15)
(2)﹣4﹣(+)+(﹣5)﹣(﹣)
(3)(﹣+﹣+)÷(﹣)
(4)18+32÷(﹣2)3﹣(﹣4)2×5
(5)﹣32﹣[(1)3×(﹣)﹣6÷|﹣|]
(6)2×(﹣1)﹣2×13+(﹣1)×5+×(﹣13)
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【题目】某校初三(1)班 名学生需要参加体育“五选一”自选项目测试,班上学生所报自选项目的情况统计表如下:
自选项目 | 人数 | 频率 |
立定跳远 | 9 | 0.18 |
三级蛙跳 | 12 | |
一分钟跳绳 | 8 | 0.16 |
投掷实心球 | 0.32 | |
推铅球 | 5 | 0.1 |
合计 | 50 | 1 |
(1)求 的值;
(2)若将各自选项目的人数所占比例绘制成扇形统计图,求“一分钟跳绳”对应扇形的圆心角的度数;
(3)在选报“推铅球”的学生中,有3名男生,2名女生.为了了解学生的训练效果,从这5名学生中随机抽取两名学生进行推铅球测试,求所抽取的两名学生中至多有一名女生的概率.
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【题目】李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是固定的,现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟;加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟,则李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需分钟.
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【题目】如图,已知△ABC中,∠ABC=90°
(1)尺规作图:按下列要求完成作图(保留作图痕迹,请标明字母) ①作线段AC的垂直平分线l,交AC于点O;
②连接BO并延长,在BO的延长线上截取OD,使得OD=OB;
③连接DA、DC
(2)判断四边形ABCD的形状,并说明理由.
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【题目】已知二次函数y=ax2﹣2ax+c(a>0)的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点,与y轴交于点C,它的顶点为P,直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D,且CP:PD=2:3
(1)求A、B两点的坐标;
(2)若tan∠PDB= ,求这个二次函数的关系式.
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【题目】平面直角坐标系xOy中,已知A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,﹣1)三点,D(1,m)是一个动点,当△ACD的周长最小时,△ABD的面积为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】如图,已知Rt△ABC中,∠ABC=90°,先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后,再把△ABC沿射线平移至△FEG,DE、FG相交于点H.
(1)判断线段DE、FG的位置关系,并说明理由;
(2)连结CG,求证:四边形CBEG是正方形.
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