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【题目】如图1,已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点,且与x轴交于另一点C.

(1)求b、c的值;
(2)如图1,点D为AC的中点,点E在线段BD上,且BE=2ED,连接CE并延长交抛物线于点M,求点M的坐标;
(3)将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G,连接CG,如图2,P为△ACG内一点,连接PA、PC、PG,分别以AP、AG为边,在他们的左侧作等边△APR,等边△AGQ,连接QR
①求证:PG=RQ;
②求PA+PC+PG的最小值,并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标.

【答案】
(1)

解:∵一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,

∴A(﹣3,0),B(0,3),

∵抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点,

解得

∴b=﹣2,c=3


(2)

解:对于抛物线y=﹣x2﹣2x+3,令y=0,则﹣x2﹣2x+3=0,解得x=﹣3或1,

∴点C坐标(1,0),

∵AD=DC=2,

∴点D坐标(﹣1,0),

∵BE=2ED,

∴点E坐标(﹣ ,1),

设直线CE为y=kx+b,把E、C代入得到 解得

∴直线CE为y=﹣ x+

解得

∴点M坐标(﹣


(3)

解:①∵△AGQ,△APR是等边三角形,

∴AP=AR,AQ=AG,∠QAC=∠RAP=60°,

∴∠QAR=∠GAP,

在△QAR和△GAP中,

∴△QAR≌△GAP,

∴QR=PG.

②如图3中,∵PA+PB+PC=QR+PR+PC=QC,

∴当Q、R、P、C共线时,PA+PG+PC最小,

作QN⊥OA于N,AM⊥QC于M,PK⊥OA于K.

∵∠GAO=60°,AO=3,

∴AG=QG=AQ=6,∠AGO=30°,

∵∠QGA=60°,

∴∠QGO=90°,

∴点Q坐标(﹣6,3 ),

在RT△QCN中,QN=3 ,CN=7,∠QNC=90°,

∴QC= =2

∵sin∠ACM= =

∴AM=

∵△APR是等边三角形,

∴∠APM=60°,∵PM=PR,cos30°=

∴AP= ,PM=RM=

∴MC= =

∴PC=CM﹣PM=

= =

∴CK= ,PK=

∴OK=CK﹣CO=

∴点P坐标(﹣ ).

∴PA+PC+PG的最小值为2 ,此时点P的坐标(﹣ ).


【解析】(1)把A(﹣3,0),B(0,3)代入抛物线y=﹣x2+bx+c即可解决问题.(2)首先求出A、C、D坐标,根据BE=2ED,求出点E坐标,求出直线CE,利用方程组求交点坐标M.(3)①欲证明PG=QR,只要证明△QAR≌△GAP即可.②当Q、R、P、C共线时,PA+PG+PC最小,作QN⊥OA于N,AM⊥QC于M,PK⊥OA于K,由sin∠ACM= = 求出AM,CM,利用等边三角形性质求出AP、PM、PC,由此即可解决问题.
【考点精析】掌握二次函数的图象和二次函数的性质是解答本题的根本,需要知道二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点;增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.

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自选项目

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8

0.16

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0.1

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50

1


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