Question

【题目】已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP：PD=2：3
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若tan∠PDB= ，求这个二次函数的关系式．

Answer 1

【答案】
（1）解：过点P作PE⊥x轴于点E，

∵y=ax2﹣2ax+c，

∴该二次函数的对称轴为：x=1，

∴OE=1

∵OC∥BD，

∴CP：PD=OE：EB，

∴OE：EB=2：3，

∴EB= ，

∴OB=OE+EB= ，

∴B（ ，0）

∵A与B关于直线x=1对称，

∴A（﹣ ，0）；

（2）解：过点C作CF⊥BD于点F，交PE于点G，

令x=1代入y=ax2﹣2ax+c，

∴y=c﹣a，

令x=0代入y=ax2﹣2ax+c，

∴y=c

∴PG=a，

∵CF=OB= ，

∴tan∠PDB= ，

∴FD=2，

∵PG∥BD

∴△CPG∽△CDF，

∴ = =

∴PG= ，

∴a= ，

∴y= x2﹣ x+c，

把A（﹣ ，0）代入y= x2﹣ x+c，

∴解得：c=﹣1，

∴该二次函数解析式为：y= x2﹣ x﹣1．

【解析】（1）由二次函数的解析式可求出对称轴为x=1，过点P作PE⊥x轴于点E，所以OE：EB=CP：PD；（2）过点C作CF⊥BD于点F，交PE于点G，构造直角三角形CDF，利用tan∠PDB= 即可求出FD，由于△CPG∽△CDF，所以可求出PG的长度，进而求出a的值，最后将A（或B）的坐标代入解析式即可求出c的值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小，以及对抛物线与坐标轴的交点的理解，了解一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．