Question

已知等边△ABC的面积为3

3

cm²，以A为圆心的圆与BC所在的直线l（1）没有公共点（2）有一个公共点（3）有两个公共点，求三种情况下⊙A的半径的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：计算题

分析：作AD⊥BC于D，如图，根据等边三角形的性质和面积公式计算出AD，然后根据直线和圆的位置关系的判定方法确定⊙A的半径的取值范围．

解答：解：作AD⊥BC于D，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAD=30°，AB=2BD，
∴AD=

3

BD，
∵

1

2

AD•BC=3

3

，
∴

1

2

•

3

BD•2BD=3

3

，
∴BD=

3

，
∴AD=

3

×

3

=3，
（1）当⊙A的半径r小于AD时，以A为圆心的圆与BC所在的直线l没有公共点，
即0＜r＜3；
（2）当⊙A的半径r等于AD时，以A为圆心的圆与BC所在的直线l有一个公共点，
即r=3；
（3）当⊙A的半径r大于AD时，以A为圆心的圆与BC所在的直线l有两个公共点，
即r＞3．

点评：本题考查了直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和⊙O相交?d＜r；直线l和⊙O相切?d=r；直线l和⊙O相离?d＞r．也考查了等边三角形的性质．