Question

在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y=

k

x

（k≠0）的图象交于一、三象限内的A、B两点，与x轴交于C点，已知点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，-2），tan∠BOC=

2

5

．若M是直线AB上一点，使得△MBO∽△OBC，求点M的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：由正切值可求得B点坐标，可得出A点的坐标，代入一次函数可求得一次函数的解析式，可求得C点坐标，可求得BC、OC、BO的长度，再设出M点的坐标，表示出OM，再由相似得到线段比例，可解得M点的坐标．

解答：解：如图过点B作BD⊥x轴，交x轴于点D，
则tan∠BOC=

BD

OD

=

2

5

，
又因为B点坐标为（n，-2），
所以BD=2，OD=-n，
即

2

-n

=

2

5

，
解得n=-5，
所以B点坐标为（-5，-2），
又因为A点也在反比例函数图象上，
所以2m=-5×（-2）=10，
解得m=5，
所以A点坐标为（2，5），
把A、B两点的坐标代入y=kx+b可得

2k+b=5 -5k+b=-2

解得

k=1 b=3

，即一次函数解析式为y=x+3，
所以可求得C点坐标为（-3，0），
因为M点在直线AB上，可设M点坐标为（x，x+3），
则OM=

x2+(x+3)2

，
在△OBC中，OB=

OD2+BD2

=

52+22

=

29

，
OC=3，OD=5，所以CD=5-3=2，且BD=2，所以可求得BC=2

2

，
要使△MBO∽△OBC，则有

OM

OC

=

BO

BC

，即

x2+(x+3)2

3

=

29

2 2

，
两边平方整理可得：16x²+48x-15=0，
解得x=±

1

4

51

-

3

2

，
当x=-

1

4

51

-

3

2

时，x+3=

3

2

-

1

4

51

，此时M点的坐标为（-

1

4

51

-

3

2

，

3

2

-

1

4

51

），
当x=

1

4

51

-

3

2

时，x+3=

3

2

+

1

4

51

，此时M点的坐标为（

1

4

51

-

3

2

，

3

2

+

1

4

51

）．

点评：本题主要考查一次函数和反比例函数及相似三角形的应用，求出一次函数的解析式，设出M点的坐标，利用相似的性质得出关于M坐标的方程是解题的关键．