Question

如图，平面直角坐标系中，点A，C两点分别在x轴和y轴上，点A的坐标点（0，6），点C的坐标（8，0），M、N分别为OA、AC的中点，动点P从O出发以每秒1个单位的速度沿折线OCNM运动，以P为圆心，以3为半径作⊙P，以N为圆心，以1为半径作⊙N．
（1）求直线AC的解析式；
（2）当点P运动到使△AOP的面积为18时，设MP交ON于K，求△KMO的面积；
（3）t为何值时，⊙P与⊙N相切？请你写出推理的过程．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）利用待定系数法求直线AC的解析式；
（2）设P点的横坐标为x，利用三角形面积公式得到

1

2

•6•x=18，解得x=6，然后分类讨论：当点P在x轴上，则P点坐标为（6，0），当点P在直线AC上，可得P点坐标为（6，

3

2

），再确定M（0，3），N（4，3）和直线ON的解析式为y=

3

4

x，接着利用待定系数法求出过M（0，3），P（6，0）的直线解析式为y=-

1

2

x+3，则通过解方程组

y=- 1 2 x+3 y= 3 4 x

得到K点坐标为（

24

5

，

18

5

），于是根据三角形面积公式计算出△KMO的面积；同样可求出过M（0，3），P（6，

3

2

）的直线解析式为y=-

1

4

x+3，利用解方程组

y=- 1 4 x+3 y= 3 4 x

得K点坐标为（3，

9

4

），再计算△KMO的面积；
（3）分类讨论：当P点在OC上，设P（t，0），根据两圆外切的判定方法，当PN等于两圆半径之和时，⊙P与⊙N外切，利用两点间的距离公式得到（t-4）²+3²=4²，可解得t₁=4-

7

，t₂=4+

7

；
当点P在CN上，当PN=4时，⊙P与⊙N外切，CP=1，易得t=9；当PN两圆半径之差时，⊙P与⊙N内切，得CP=3，则t=11；当点P在MN上，同理可得当PN=2时，⊙P与⊙N内切，此时t=15，当PN=4时，⊙P与⊙N外切，可得t=17，综上所述，当t的值为4-

7

或4+

7

或9或11或15或17时，⊙P与⊙N相切．

解答：解：（1）设直线AC的解析式为y=kx+b，
把点A（0，6），点C（8，0）代入得

b=6 8k+b=0

，
解得

k=- 3 4 b=6

，
所以直线AC的解析式为y=-

3

4

x+6；
（2）设P点的横坐标为x，
根据题意得

1

2

•6•x=18，解得x=6，
当点P在x轴上，则P点坐标为（6，0），
当点P在直线AC上，x=6时，y=-

3

4

x+6=

3

2

，此时P点坐标为（6，

3

2

），
∵M、N分别为OA、AC的中点
∴M（0，3），N（4，3），
∴直线ON的解析式为y=

3

4

x，
①过M（0，3），P（6，0）的直线解析式为y=-

1

2

x+3，
解方程组

y=- 1 2 x+3 y= 3 4 x

得

x= 24 5 y= 18 5

，
∴K点坐标为（

24

5

，

18

5

），
∴△KMO的面积=

1

2

•3•

24

5

=

36

5

；
②过M（0，3），P（6，

3

2

）的直线解析式为y=-

1

4

x+3，
解方程组

y=- 1 4 x+3 y= 3 4 x

得

x=3 y= 9 4

，
∴K点坐标为（3，

9

4

），
∴△KMO的面积=

1

2

•3•3=

9

2

；
（3）当P点在OC上，设P（t，0），
∵当PN=1+3=4时，⊙P与⊙N外切，
∴（t-4）²+3²=4²，解得t₁=4-

7

，t₂=4+

7

；
当点P在CN上，CN=5，
∵当PN=1+3=4时，⊙P与⊙N外切，
∴CP=1，
∴t=8+1=9；
∵当PN=3-1=2时，⊙P与⊙N内切，
∴CP=3，
∴t=8+3=11；
当点P在MN上，
∵当PN=2时，⊙P与⊙N内切，
∴t=8+5+2=15；
∵当PN=4时，⊙P与⊙N外切，
∴t=8+5+4=17，
综上所述，当t的值为4-

7

或4+

7

或9或11或15或17时，⊙P与⊙N相切．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握两圆相切的性质；会运用待定系数法求一次函数解析式；会运用分类讨论的思想解决数学问题；学会用代数法解决有关动点问题的问题．