【题目】如图,等腰三角形ABC中,BD,CE分别是两腰上的中线.
(1)求证:BD=CE;
(2)设BD与CE相交于点O,点M,N分别为线段BO和CO的中点,当△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时,判断四边形DEMN的形状,无需说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)四边形DEMN是正方形,证明见解析.
【解析】分析:(1)根据已知条件得到AD=AE,根据全等三角形的性质即可得到结论;
(2)根据三角形中位线的性质得到ED∥BC,ED=BC,MN∥BC,MN=BC,等量代换得到ED∥MN,ED=MN,推出四边形EDNM是平行四边形,由(1)知BD=CE,求得DM=EN,得到四边形EDNM是矩形,根据全等三角形的性质得到OB=OC,由三角形的重心的性质得到O到BC的距离=BC,根据直角三角形的判定得到BD⊥CE,于是得到结论.
详解:
(1)解:由题意得,AB=AC,
∵BD,CE分别是两腰上的中线,
∴AD=AC,AE=AB,
∴AD=AE,
在△ABD和△ACE中
,
∴△ABD≌△ACE(ASA).
∴BD=CE;
(2)四边形DEMN是正方形,
证明:∵E、D分别是AB、AC的中点,
∴AE=AB,AD=AC,ED是△ABC的中位线,
∴ED∥BC,ED=BC,
∵点M、N分别为线段BO和CO中点,
∴OM=BM,ON=CN,MN是△OBC的中位线,
∴MN∥BC,MN=BC,
∴ED∥MN,ED=MN,
∴四边形EDNM是平行四边形,
由(1)知BD=CE,
又∵OE=ON,OD=OM,OM=BM,ON=CN,
∴DM=EN,
∴四边形EDNM是矩形,
在△BDC与△CEB中,,
∴△BDC≌△CEB,
∴∠BCE=∠CBD,
∴OB=OC,
∵△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等,
∴O到BC的距离=BC,
∴BD⊥CE,
∴四边形DEMN是正方形.
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【题目】已知:如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,过C点的切线与AB的延长线交于点D,CE∥AB交⊙O于点E,连接AC、BC、AE.
(1)求证:①∠DCB=∠CAB;②CDCE=CBCA;
(2)作CG⊥AB于点G.若tan∠CAB=(k>1),求的值(用含k的式子表示).
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【题目】如果点A(0,2)和点B(4,2)都在二次函数y=x2+bx+c的图象上,那么此抛物线在直线_____的部分是上升的.(填具体某直线的某侧)
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【题目】设a,b是任意两个不等实数,我们规定:满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间,表示为[a,b].对于一个函数,如果它的自变量x与函数值y满足:当m≤x≤n时,有m≤y≤n,我们就称此函数是闭区间[m,n]上的“闭函数”.如函数y=﹣x+4,当x=1时,y=3;当x=3时,y=1,即当1≤x≤3时,恒有1≤y≤3,所以说函数y=﹣x+4是闭区间[1,3]上的“闭函数”,同理函数y=x也是闭区间[1,3]上的“闭函数”.
(1)反比例函数y=是闭区间[1,2018]上的“闭函数”吗?请判断并说明理由;
(2)如果已知二次函数y=x2﹣4x+k是闭区间[2,t]上的“闭函数”,求k和t的值;
(3)如果(2)所述的二次函数的图象交y轴于C点,A为此二次函数图象的顶点,B为直线x=1上的一点,当△ABC为直角三角形时,写出点B的坐标.
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【题目】如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=CD,BC=AC,∠BAD=108°,则∠D=( )
A. 144°B. 110°C. 100°D. 108°
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【题目】将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点 O 按如图方式叠放在一起.
( 1 ) 如图 1 , 若∠ BOD=35° , 则∠ AOC= ; 若∠AOC=135°, 则∠BOD= ;
(2)如图2,若∠AOC=140°,则∠BOD= ;
(3)猜想∠AOC 与∠BOD 的大小关系,并结合图1说明理由.
(4)三角尺 AOB 不动,将三角尺 COD 的 OD 边与 OA 边重合,然后绕点 O 按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度,当∠A OD(0°<∠AOD<90°)等于多少度时,这两块三角尺各有一条边互相垂直,直接写出∠AOD 角度所有可能的值,不用说明理由.
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【题目】如图,等边△ABC的边长为2cm,点P从点A出发,以1cm/s的速度沿AC向点C运动,到达点C停止;同时点Q从点A出发,以2cm/s的速度沿AB﹣BC向点C运动,到达点C停止,设△APQ的面积为y(cm2),运动时间为x(s),则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是( )
A. B.
C. D.
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【题目】目前节能灯在城市已基本普及,某商场计划购进甲、乙两种节能订共1200只,这两种节能灯的进价、售价如下表:
(1)如何进货,进货款恰好为46000元?
(2)为确保乙型节能灯顺利畅销,在(1)的条件下,商家决定对乙型节能灯进行打折出售,且全部售完后,乙型节能灯的利润率为20%,请同乙型节能灯需打几折?
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【题目】现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱,某兴趣小组随机调查了我市50名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理,绘制了如下的统计图表(不完整):
步数 | 频数 | 频率 |
0≤x<4000 | 8 | a |
4000≤x<8000 | 15 | 0.3 |
8000≤x<12000 | 12 | b |
12000≤x<16000 | c | 0.2 |
16000≤x<20000 | 3 | 0.06 |
20000≤x<24000 | d | 0.04 |
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)写出a,b,c,d的值并补全频数分布直方图;
(2)本市约有37800名教师,用调查的样本数据估计日行走步数超过12000步(包含12000步)的教师有多少名?
(3)若在50名被调查的教师中,选取日行走步数超过16000步(包含16000步的两名教师与大家分享心得,求被选取的两名教师恰好都在20000步(包含20000步)以上的概率.
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