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【题目】设a,b是任意两个不等实数,我们规定:满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间,表示为[a,b].对于一个函数,如果它的自变量x与函数值y满足:当m≤x≤n时,有m≤y≤n,我们就称此函数是闭区间[m,n]上的“闭函数”.如函数y=﹣x+4,当x=1时,y=3;当x=3时,y=1,即当1≤x≤3时,恒有1≤y≤3,所以说函数y=﹣x+4是闭区间[1,3]上的“闭函数”,同理函数y=x也是闭区间[1,3]上的“闭函数”.

(1)反比例函数y=是闭区间[1,2018]上的“闭函数”吗?请判断并说明理由;

(2)如果已知二次函数y=x2﹣4x+k是闭区间[2,t]上的“闭函数”,求k和t的值;

3)如果(2)所述的二次函数的图象交y轴于C点,A为此二次函数图象的顶点,B为直线x=1上的一点,当ABC为直角三角形时,写出点B的坐标.

【答案】(1)反比例函数y=是闭区间[1,2018]上的“闭函数”(2)t=3(3)当ABC为直角三角形时,点B的坐标(1,4+),(1,4﹣),(1,),(1,

【解析】分析: (1)由k>0可知反比例函数y=在闭区间[1,2016]上y随x的增大而减小,然后将x=1,x=2018别代入反比例解析式的解析式,从而可求得y的范围,于是可做出判断;
(2)先求得二次函数的对称轴为x=1,a=1>0,根据二次函数的性质可知y=x2-4x+k在闭区间[2,t]上y随x的增大而增大,然后将x=2,y=k-4,x=t,y=t2-4t+k分别代入二次函数的解析式,从而可求得k的值;
(3)根据勾股定理的逆定理,可得方程,根据解方程,可得答案.

详解:

(1)∵k=2018,

当1≤x≤2018时,y随x的增大而减小.

当x=1时,y=2018,x=2018时,y=1.

∴1≤y≤2108.

反比例函数y= 是闭区间[1,2018]上的“闭函数”.

(2)∵x=﹣=2,a=1>0,

二次函数y=x2﹣4x+k在闭区间[2,t]上y随x的增大而增大.

二次函数y=x2﹣2x﹣k是闭区间[2,t]上的“闭函数”,

当x=2时,y=k﹣4,x=t时,y=t2﹣4t+k.

解得k=6,t=3,t=﹣2,

因为t>2,

t=2舍去,

∴t=3.

(3)由二次函数的图象交y轴于C点,A为此二次函数图象的顶点,得

A(2,2),C(0,6)设B(1,t),

由勾股定理,得AC2=22+(2﹣6)2,AB2=(2﹣1)2+(2﹣t)2,BC2=12+(t﹣6)2

ABC=90°时,AB2+BC2=AC2,即

(2﹣1)2+(2﹣t)2+(t﹣6)2+1=22+(2﹣6)2

化简,得t2﹣8t+11=0,解得t=4+或t=4﹣

B(1,4+),(1,4﹣);

BAC=90°是,AB2+AC2=BC2

即(2﹣1)2+(2﹣t)2+22+(2﹣6)2=12+(t﹣6)2

化简,得8t=12,

解得t=

B(1,),

ACB=90°时,AC2+CB2=AB2

即22+(2﹣6)2+12+(t﹣6)2=(2﹣1)2+(2﹣t)2

化简,得2t=13,

解得t=

B(1,),

综上所述:当ABC为直角三角形时,点B的坐标(1,4+),(1,4﹣),(1,),(1,).

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时间(小时)

频数(人数)

频率

2t3

4

0.1

3t4

10

0.25

4t5

a

0.15

5t6

8

b

6t7

12

0.3

合计

40

1

1)表中的a   b   

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