【题目】设a,b是任意两个不等实数,我们规定:满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间,表示为[a,b].对于一个函数,如果它的自变量x与函数值y满足:当m≤x≤n时,有m≤y≤n,我们就称此函数是闭区间[m,n]上的“闭函数”.如函数y=﹣x+4,当x=1时,y=3;当x=3时,y=1,即当1≤x≤3时,恒有1≤y≤3,所以说函数y=﹣x+4是闭区间[1,3]上的“闭函数”,同理函数y=x也是闭区间[1,3]上的“闭函数”.
(1)反比例函数y=是闭区间[1,2018]上的“闭函数”吗?请判断并说明理由;
(2)如果已知二次函数y=x2﹣4x+k是闭区间[2,t]上的“闭函数”,求k和t的值;
(3)如果(2)所述的二次函数的图象交y轴于C点,A为此二次函数图象的顶点,B为直线x=1上的一点,当△ABC为直角三角形时,写出点B的坐标.
【答案】(1)反比例函数y=是闭区间[1,2018]上的“闭函数”(2)t=3(3)当△ABC为直角三角形时,点B的坐标(1,4+),(1,4﹣),(1,),(1,)
【解析】分析: (1)由k>0可知反比例函数y=在闭区间[1,2016]上y随x的增大而减小,然后将x=1,x=2018别代入反比例解析式的解析式,从而可求得y的范围,于是可做出判断;
(2)先求得二次函数的对称轴为x=1,a=1>0,根据二次函数的性质可知y=x2-4x+k在闭区间[2,t]上y随x的增大而增大,然后将x=2,y=k-4,x=t,y=t2-4t+k分别代入二次函数的解析式,从而可求得k的值;
(3)根据勾股定理的逆定理,可得方程,根据解方程,可得答案.
详解:
(1)∵k=2018,
∴当1≤x≤2018时,y随x的增大而减小.
∴当x=1时,y=2018,x=2018时,y=1.
∴1≤y≤2108.
∴反比例函数y= 是闭区间[1,2018]上的“闭函数”.
(2)∵x=﹣=2,a=1>0,
∴二次函数y=x2﹣4x+k在闭区间[2,t]上y随x的增大而增大.
∵二次函数y=x2﹣2x﹣k是闭区间[2,t]上的“闭函数”,
∴当x=2时,y=k﹣4,x=t时,y=t2﹣4t+k.
,
解得k=6,t=3,t=﹣2,
因为t>2,
∴t=2舍去,
∴t=3.
(3)由二次函数的图象交y轴于C点,A为此二次函数图象的顶点,得
A(2,2),C(0,6)设B(1,t),
由勾股定理,得AC2=22+(2﹣6)2,AB2=(2﹣1)2+(2﹣t)2,BC2=12+(t﹣6)2,
①当∠ABC=90°时,AB2+BC2=AC2,即
(2﹣1)2+(2﹣t)2+(t﹣6)2+1=22+(2﹣6)2,
化简,得t2﹣8t+11=0,解得t=4+或t=4﹣,
B(1,4+),(1,4﹣);
②当∠BAC=90°是,AB2+AC2=BC2,
即(2﹣1)2+(2﹣t)2+22+(2﹣6)2=12+(t﹣6)2,
化简,得8t=12,
解得t=,
B(1,),
③当∠ACB=90°时,AC2+CB2=AB2,
即22+(2﹣6)2+12+(t﹣6)2=(2﹣1)2+(2﹣t)2,
化简,得2t=13,
解得t= ,
B(1,),
综上所述:当△ABC为直角三角形时,点B的坐标(1,4+),(1,4﹣),(1,),(1,).
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【题目】某市提倡“诵读中华经典,营造书香校园”的良好诵读氛围,促进校园文化建设,进而培养学生的良好诵读习惯,使经典之风浸漫校园.某中学为了了解学生每周在校经典诵读时间,在本校随机抽取了若干名学生进行调查,并依据调查结果绘制了以下不完整的统计图表,请根据图表信息解答下列问题:
时间(小时) | 频数(人数) | 频率 |
2≤t<3 | 4 | 0.1 |
3≤t<4 | 10 | 0.25 |
4≤t<5 | a | 0.15 |
5≤t<6 | 8 | b |
6≤t<7 | 12 | 0.3 |
合计 | 40 | 1 |
(1)表中的a= ,b= ;
(2)请将频数分布直方图补全;
(3)若该校共有1200名学生,试估计全校每周在校参加经典诵读时间至少有4小时的学生约为多少名?
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【题目】在平面直角坐标系中,四边形AOBC是矩形,点O(0,0),点A(5,0),点B(0,3).以点A为中心,顺时针旋转矩形AOBC,得到矩形ADEF,点O,B,C的对应点分别为D,E,F.
(1)如图①,当点D落在BC边上时,求点D的坐标;
(2)如图②,当点D落在线段BE上时,AD与BC交于点H.
①求证△ADB≌△AOB;
②求点H的坐标.
(3)记K为矩形AOBC对角线的交点,S为△KDE的面积,求S的取值范围(直接写出结果即可).
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【题目】为响应绿色出行号召,越来越多市民选择租用共享单车出行,已知某共享单车公司为市民提供了手机支付和会员卡支付两种支付方式,如图描述了两种方式应支付金额y(元)与骑行时间x(时)之间的函数关系,根据图象回答下列问题:
(1)求手机支付金额y(元)与骑行时间x(时)的函数关系式;
(2)李老师经常骑行共享单车,请根据不同的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算.
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【题目】已知:在平面直角坐标系中,直线分别交、轴于点A、B两点,OA=5,∠OAB=60°.
(1)如图1,求直线AB的解析式;
(2)如图2,点P为直线AB上一点,连接OP,点D在OA延长线上,分别过点P、D作OA、OP的平行线,两平行线交于点C,连接AC,设AD=m,△ABC的面积为S,求S与m的函数关系式;
(3)如图3,在(2)的条件下,在PA上取点E ,使PE=AD, 连接EC,DE,若∠ECD=60°,四边形ADCE的周长等于22,求S的值.
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【题目】如图,等腰三角形ABC中,BD,CE分别是两腰上的中线.
(1)求证:BD=CE;
(2)设BD与CE相交于点O,点M,N分别为线段BO和CO的中点,当△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时,判断四边形DEMN的形状,无需说明理由.
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【题目】图1是一个三角形,分别连接这个三角形三边的中点得到图2;再分别连接图2中间小三角形的中点,得到图3.(若三角形中含有其它三角形则不记入)
按上面方法继续下去,第20个图有_____个三角形;第n个图中有_____个三角形.(用n的代数式表示结论)
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【题目】如图所示,直线与轴交于点,与轴交于点,与反比例函的图象交于点,且.
(1)求点的坐标和反比例函数的解析式;
(2)点在轴上,反比例函数图象上存在点,使得四边形为平行四边形,求点M的坐标.
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