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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=2,点M在BC上,连接AM,作AMN=AMB,点N在直线AD上,MN交CD于点E

(1)求证:AMN是等腰三角形;

(2)求BMAN的最大值;

(3)当M为BC中点时,求ME的长.

【答案】(1)证明详见解析;(2) (3)

【解析】

试题分析:(1)根据矩形的性质和平行线的性质证明即可;

(2)作NHAM于H,证明NAH∽△AMB,根据相似三角形的性质得到ANBM=,根据勾股定理计算即可;

(3)由(2)的结论,结合相似三角形的性质求出CE,根据勾股定理计算即可.

试题解析:(1)四边形ABCD是矩形,

ADBC,

∴∠NAM=BMA,又AMN=AMB,

∴∠AMN=NAM,

AN=MN,即AMN是等腰三角形;

(2)如图,作NHAM于H,

AN=MN,NHAM,

AH=AM,

∵∠NHA=ABM=90°,AMN=AMB,

∴△NAH∽△AMB,

ANBM=AHAM=

在RtAMB中,

BM≤2,

9+≤13,

ANBM≤

即当BM=2时,BMAN的最大值为

(3)解:M为BC中点,

BM=CM=BC=1,

由(2)得,ANBM=

==10,

AN=5,

DN=5﹣2=3,

设DE=x,则CE=3﹣x,

ANBC,

,即

解得,x=,即CE=

CE=

ME==

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