Question

【题目】如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的奇妙线．

（1）如图1，在的内部，有_________条奇妙线；

（2）如图2，若，射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．

①直接写出当为何值时，射线是的奇妙线？

②若射线同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，并与同时停止旋转．请求出当射线是的奇妙线时的值．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）①t为4.5或6或9 ；②或或

【解析】

（1）根据奇妙线的定义，若OC是射线是的奇妙线，有∠AOB=2∠AOC、∠AOC=2∠BOC、∠BOC=2∠AOC三种情况；

（2）①表达出∠QPN、∠QPM=20°t-60°，再分三种情况，根据奇妙线的定义列出方程即可求解；

②表达出∠QPN、∠M’PN、∠M’PQ，再分三种情况，根据奇妙线的定义列出方程即可求解；

解：（1）若∠AOB=2∠AOC，则OC是射线是的奇妙线，

若∠AOC=2∠BOC，则OC是射线是的奇妙线

若∠BOC=2∠AOC，则OC是射线是的奇妙线

∴在的内部，有3条奇妙线，

故答案为：3．

（2）①∵∠QPN=20°t，∠MPN=60°

∴∠QPM=20°t-60°

当∠QPN=2∠MPN时，即20°t=120°，解得t=6s，

当∠QPM=2∠MPN时，即20°t-60°=120°，解得t=9s，

当∠MPN=2∠QPM时，即60°=2（20°t-60°），解得t=4.5s，

故答案为：t为4.5或6或9．

②由题意得：∠QPN=20°t，∠M’PN=60°+12°t，∠M’PQ=60°-8°t

当时

∴

∴

当时，

∴

∴

当时，

∴

∴

综上所述，当或或 时，射线是的奇妙线．