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【题目】如图,∠AOB=20°,点MN分别是边OAOB上的定点,点PQ分别是边OBOA上的动点,记∠MPQ=,∠PQN=,当MP+PQ+QN最小时,则的值为( )

A. 10°B. 20°C. 40°D. 60°

【答案】C

【解析】

M关于OB的对称点M′,作N关于OA的对称点N′,连接MN′,交OA于点Q,交OB于点P,则MP+PQ+QN最小,根据轴对称的性质以及平角的定义可得∠OPM=(180°-α),再根据三角形外角的性质可得∠1=110°-α,同样根据平角的定义可得∠3=(180°-β),由对顶角性质可得∠MQP=(180°-β),根据三角形内角和定理可得∠1+MPQ+∠MQP=180°,即110°-α+α+(180°-β)=180°,整理即可求得答案.

如图,作M关于OB的对称点M′,作N关于OA的对称点N′,连接MN′,交OA于点Q,交OB于点P,则MP+PQ+QN最小,

∵∠MPM′+MPQ=180°∠OPM=∠OPM′∠OPM+∠OPM′=MPM,∠MPQ=α

∴∠OPM=(180°-α)

∵∠1=O+∠OPM

∴∠1=20°+(180°-α)=110°-α,

2=∠3∠2+∠3+∠MQN=180°∠PQN=β

∴∠3=(180°-β)

∠MQP=∠3=(180°-β)

△PMQ中,∠1+MPQ+∠MQP=180°

110°-α+α+(180°-β)=180°,

β-α=40°

故选C.

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