【题目】如图,∠AOB=20°,点M、N分别是边OA、OB上的定点,点P、Q分别是边OB、OA上的动点,记∠MPQ=,∠PQN=,当MP+PQ+QN最小时,则的值为( )
A. 10°B. 20°C. 40°D. 60°
【答案】C
【解析】
作M关于OB的对称点M′,作N关于OA的对称点N′,连接M′N′,交OA于点Q,交OB于点P,则MP+PQ+QN最小,根据轴对称的性质以及平角的定义可得∠OPM=(180°-α),再根据三角形外角的性质可得∠1=110°-α,同样根据平角的定义可得∠3=(180°-β),由对顶角性质可得∠MQP=(180°-β),根据三角形内角和定理可得∠1+∠MPQ+∠MQP=180°,即110°-α+α+(180°-β)=180°,整理即可求得答案.
如图,作M关于OB的对称点M′,作N关于OA的对称点N′,连接M′N′,交OA于点Q,交OB于点P,则MP+PQ+QN最小,
∵∠MPM′+∠MPQ=180°,∠OPM=∠OPM′,∠OPM+∠OPM′=∠MPM,∠MPQ=α,
∴∠OPM=(180°-α),
∵∠1=∠O+∠OPM,
∴∠1=20°+(180°-α)=110°-α,
∵∠2=∠3,∠2+∠3+∠MQN=180°,∠PQN=β,
∴∠3=(180°-β),
∴∠MQP=∠3=(180°-β),
在△PMQ中,∠1+∠MPQ+∠MQP=180°,
即110°-α+α+(180°-β)=180°,
∴β-α=40°,
故选C.
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【题目】如图,矩形BCDE的各边分别平行于x轴与y轴,物体甲和物体乙由点A(2,0)同时出发,沿矩形BCDE的边作环绕运动,物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动,物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动,则两个物体运动后的第2018次相遇地点的坐标是( )
A. (1,﹣1) B. (2,0) C. (﹣1,1) D. (﹣1,﹣1)
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【题目】如图,线段、相交于,连结、,我们把形如图的图形称之为“”字形,如图,在图的条件下,和的平分线和相交于点,并且与、分别相交于、,试解答下列问题:
(1)在图中,请直接写出、、、之间的数量关系:__________
(2)仔细观察,在图中“”字形的个数:______个;
(3)图中,当度,度时,求的度数.
(4)图中和为任意角时,其它条件不变,试问与、之间存在着怎样的数量关系?(直接写出结果,不必证明)
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,CD⊥AB于点D.P为AB延长线上一点,∠PCD=2∠BAC.
(1)求证:CP为⊙O的切线;
(2)若BP=1,CP=,求 ⊙O的半径;
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【题目】如图,已知AC,EC分别为正方形ABCD和正方形EFCG的对角线,点E在△ABC内,连接BF,∠CAE+∠CBE=90°.
(1)求证:△CAE∽△CBF;
(2)若BE=1,AE=2,求CE的长.
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【题目】如图,在△ABC和△DEF中,∠ACB=∠EFD=90°,点B、F、C、D在同一直线上,已知AB⊥DE,且AB=DE,AC=6,EF=8,DB=10,则CF的长度为___________.
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【题目】我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何?”这道题讲的是:有一块三角形沙田,三条边长分别为5里,12里,13里,问这块沙田面积有多大?题中“里”是我国市制长度单位,1里=500米,则该沙田的面积为( )
A. 7.5平方千米 B. 15平方千米 C. 75平方千米 D. 750平方千米
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【题目】旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用,假定每辆观光车一天内最多能出租一次,且每辆车的日租金是x元,发现每天的营运规律如下:当x不超过100元时,观光车能全部租出;当x超过100元时,每辆车的日租金每增加5元,租出去的观光车就会减少1辆,已知所有观光车每天的管理费是1000元.
(1)若某日的净收入为5000元,且使游客得到实惠,则当天的观光车的日租金是多少元?(注:净收入=租车收入-管理费)
(2)设每日净收入为w元,请写出w与x之间的函数关系式;并求出日租金为多少时,每日净收入最大?
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