【题目】如图,已知AC,EC分别为正方形ABCD和正方形EFCG的对角线,点E在△ABC内,连接BF,∠CAE+∠CBE=90°.
(1)求证:△CAE∽△CBF;
(2)若BE=1,AE=2,求CE的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)CE=.
【解析】
试题分析:(1)首先根据四边形ABCD和EFCG均为正方形,可得,∠ACE=∠BCF;然后根据相似三角形判定的方法,推得△CAE∽△CBF即可;
(2)首先根据△CAE∽△CBF,判断出∠CAE=∠△CBF,再根据∠CAE+∠CBE=90°,判断出∠EBF=90°;然后在Rt△BEF中,根据勾股定理,求出EF的长度,再根据CE、EF的关系,求出CE的长是多少即可.
试题解析:(1)∵四边形ABCD和EFCG均为正方形,
∴,
∴∠ACB=∠ECF=45°,
∴∠ACE=∠BCF,
∴△CAE∽△CBF.
(2)∵△CAE∽△CBF,
∴∠CAE=∠△CBF,,
又∵∠CAE+∠CBE=90°,
∴∠CBF+∠CBE=90°,
∴∠EBF=90°,
又∵,AE=2
∴,
∴BF=,
∴EF2=BE2+BF2=3,
∴EF=,
∵CE2=2EF2=6,
∴CE=.
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【题目】某区教育部门准备在七年级开设兴趣课堂,以丰富学生课余生活.为了了解学生对音乐、书法、球类、绘画这四个兴趣小组的喜爱情况,在全区进行随机抽样调查,并根据收集的数据绘制了下面两幅统计图(信息不完整),请根据图中提供的信息,解答下面的问题:
(1) 此次共调查了 名同学;
(2) 将条形图补充完整,计算扇形统计图中音乐部分的圆心角的度数是 ;
(3) 如果该区七年级共有2 000名学生参加这4个课外兴趣小组,而每名教师最多只能辅导本组的20名学生,则绘画兴趣小组至少需要准备多少名教师?
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【题目】如图,在中, ,CD是斜边AB上的高.
(1)证明: ∽
(2)写出除(1)外的另两对相似三角形.
(3)AC是哪两条线段的比例中项?请简要证明(说明).
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【题目】如图,∠AOB=20°,点M、N分别是边OA、OB上的定点,点P、Q分别是边OB、OA上的动点,记∠MPQ=,∠PQN=,当MP+PQ+QN最小时,则的值为( )
A. 10°B. 20°C. 40°D. 60°
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【题目】三角形ABC的三边长分别为6 cm、7.5 cm、9 cm,三角形DEF的一边长为4 cm.当三角形DEF的另两边长是下列哪一组时,这两个三角形相似( )
A. 2 cm、3 cm B. 4 cm、5 cm C. 5 cm、6 cm D. 6 cm、7 cm
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【题目】2017年3月全国两会胜利召开,某学校就两会期间出现频率最高的热词:A.蓝天保卫战,B.不动产保护,C.经济增速,D.简政放权等进行了抽样调查,每个同学只能从中选择一个“我最关注”的热词,如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图.请你根据统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)本次调查中,一共调查了 名同学;
(2)条形统计图中,m= ,n= ;
(3)从该校学生中随机抽取一个最关注热词D的学生的概率是多少?
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【题目】2018年我市的脐橙喜获丰收,脐橙一上市,水果店的陈老板用2400元购进一批脐橙,很快售完;陈老板又用6000元购进第二批脐橙,所购件数是第一批的2倍,但进价比第一批每件多了20元.
(1)第一批脐橙每件进价多少元?
(2)陈老板以每件120元的价格销售第二批脐橙,售出60%后,为了尽快售完,决定打折促销,要使第二批脐橙的销售总利润不少于480元,剩余的脐橙每件售价最低打几折?(利润=售价﹣进价)
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