【题目】如图,抛物线与直线交于两点,交轴与两点,连接已知.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求证:是直角三角形;
(3)为轴右侧抛物线上一动点,连接,过点作交轴于点,问:是否存在点使得以为顶点的三角形与相似?若存在,请求出所有符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)见解析;(3)存在,满足条件的点的坐标为,,.
【解析】
(1)将点A,C的坐标代入到抛物线的解析式中,即可求出答案;
(2)先将抛物线解析式与直线解析式联立求出B点坐标,然后利用勾股定理求出,然后利用勾股定理的逆定理即可得出结论;
(3)过点作轴于则,设点的横坐标为,分四种情况:①若点在点的下方,当时;②若点在点的下方,当时;③若点在点的上方,当时;④若点在点的上方,当时,分别进行计算即可.
(1)把代入
得:,解得:,
抛物线的解析式为;
(2)由题意联立,
解得:或,
B点的坐标为,
,
是直角三角形;
(3)存在点使得以为顶点的三角形与相似.
过点作轴于则,
设点的横坐标为,由在轴右侧可得则,
,
.
,
.
①若点在点的下方,当时,则,
,
,
,
,则.
把代入,
得,
整理得:,
解得:(舍去),(舍去);
②若点在点的下方,当时,则,
,
,
,
∴,则,
把代入,得,
整理得:,
解得:(舍去),,
;
③若点在点的上方,当时,则,
同理可得:点的坐标为;
④若点在点的上方,当时,则,
同理可得:点的坐标为;
综上所述:满足条件的点的坐标为,,.
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【题目】四川雅安发生地震后,某校学生会向全校1900名学生发起了“心系雅安”捐款活动,为了解捐款情况,学会生随机调查了部分学生的捐款金额,并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②,请根据相关信息,解答下列是问题:
(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为 ,图①中m的值是 ;
(2)求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数;
(3)根据样本数据,估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数.
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【题目】某公司为了宣传一种新产品,在某地先后举行场产品促销会,已知该产品每台成本为万元,设第场产品的销售量为 (台),在销售过程中获得以下信息:
信息1:已知第一场销售产品台,然后每增加一场,产品就少卖出台;
信息2:产品的每场销售单价(万元)由基本价和浮动价两部分组成,其中基本价保持不变,第1场--第20场浮动价与销售场次成正比,第21场--第40场浮动价与销售场次成反比,经过统计,得到如下数据:
(场) | 3 | 10 | 25 |
(万元) | 10.6 | 12 | 14.2 |
(1)求与之间满足的函数关系式;
(2)当产品销售单价为13万元时,求销售场次是第几场?
(3)在这场产品促销会中,哪一场获得的利润最大,最大利润是多少?
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【题目】如图,矩形中,为中点,点为上的动点(不与重合).过作于,于.设的长度为,与的长度和为.则能表示与之间的函数关系的图象大致是( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,在△ABC 中,点P是AC边上的一点,过点P作与BC平行的直线PQ,交AB于点Q,点D在线段 BC上,连接AD交线段PQ于点E,且,点G在BC延长线上,∠ACG的平分线交直线PQ于点F.
(1)求证:PC=PE;
(2)当P是边AC的中点时,求证:四边形AECF是矩形.
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【题目】如图,在⊿ABC中,∠CBA=90,∠CAB=50,以AB为直径作⊙O交AC于点D,点E在边BC上,连结DE,且∠DEB=80
(1)求证:直线ED是⊙O的切线;
(2)求证:DE=BE
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【题目】美丽的雪花扮靓了我们可爱的家乡,但高速公路清雪刻不容缓.某高速公路维护站引进甲、乙两种型号的清雪车,已知甲型清雪车比乙型清雪车每天多清理路段6千米,甲型清雪车清理90千米与乙型清雪车清理60千米路段所用的时间相同.
(1)甲型、乙型清雪车每天各清理路段多少千米?
(2)此公路维护站欲购置甲、乙两种型号清雪车共20台,甲型每台30万元,乙型每台15万元,若在购款不超过360万元,甲型、乙型都购买的情况下,甲型清雪车最多可购买几台?
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