Question

【题目】如图1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，点E、F在AB上，且∠ECF＝60°．

（1）①在图1中画出；点A关于直线CF的对称点G；②若EF＝AF，求证：BE＝EF；

（2）如图2，∠ABP＝120°，射线BP交CE的延长线于点P，求证：PB+AF＝PF．

Answer 1

【答案】（1）①见解析，②见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）根据对称的性质画出点G，根据对称的性质和全等三角形的性质可求证BE＝EF.（2）将△ACF绕C点逆时针旋转至AC与BC重合，根据全等三角形的性质可求证PB+AF＝PF.

解：（1）①如解图（1）：G为点A关于直线CF的对称点；

②连接FG、CG、EG，

∵G为点A关于直线CF的对称点；

∴△ACF≌△GCF，

∴AC＝CG，∠ACF＝∠GCF，∠FGC＝∠A．

又∵AC＝BC，

∴CG＝CB，

∵∠ACB＝120°，∠ECF＝60°，

∴∠ECG＝60°﹣∠GCF＝60°﹣∠ACF，∠BCE＝60°﹣∠ACF，

∴∠ECG＝∠ECB，

在△GCE和△BCE中

∴△GCE≌△BCE（SAS），

∴EG＝BE，∠B＝∠EGC，

∵∠ACB＝120°，

∴∠A+∠B＝60°，

∴∠EGC+∠FGC＝60°，

又∵AF＝EF＝FG，

∴△FEG为等边三角形，

∴EF＝EG＝BE，即BE＝EF．

（2）证明：由AC＝BC，∠ACB＝120°，故可将△ACF绕C点逆时针旋转120°到△BCF′位置，如解图2，

∵△ACF≌△BCF′，

∴∠A＝∠CBA＝∠CBF′＝30°，AF＝BF’，∠ACF＝∠BCF′

又∵∠FBP＝120°，

∴∠FBP+∠ABC+∠CBF′＝180°，

∴B、P、F′在同一直线上，

又∵∠ACF+∠BCE＝∠BCF′+∠BCE＝60°，即∠PCF’＝60°．

在△CFP和△CF′P中，

，

∴△CFP≌△CF′P（SAS）

∴FP＝F′P，

∵PB+BF′＝BP+AF，

∴PB+AF＝PF