Question

如图，在锐角△ABC中，AC是最短边，以AC中点O为圆心，AC为直径作⊙O，交BC于点E，过O作OD∥BC交⊙O于点D，连结AE，AD，DC．求证：
（1）D是

AE

的中点；
（2）∠DAO=∠B+∠BAD．

Answer 1

考点：圆周角定理,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据圆周角定理得到∠AEC=90°，则AE⊥BC，再根据平行线的性质得OD⊥AE，然后根据垂径定理即可得到结论；
（2）延长AD交BC于点F′，如图，根据圆周角定理由弧AD=弧E得∠ACD=∠F′CD，而∠ADC=90°，则CD⊥AF′，根据等腰三角形的判定得到△CAF为等腰三角形，则∠CAF′=∠AF′C，而∠AF′C=∠B+∠BAF′，于是∠CAF′=∠B+∠BAF′．

解答：解：（1）∵AC是直径，
∴∠AEC=90°，
∴AE⊥BC，
而OD∥BC，
∴OD⊥AE，
∴OD平分弧AE，
即点D是弧AE的中点；
（2）延长AD交BC于点F′，如图，
∵弧AD=弧ED，
∴∠ACD=∠FCD，
∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，
∴CD⊥AF′，
∴△CAF′为等腰三角形，
∴CA=CF′，
∴∠CAF′=∠AF′C，
而∠AF′C=∠B+∠BAF′，
∴∠CAF′=∠B+∠BAF′，
即∠DAO=∠B+∠BAD．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和等腰三角形的判定与性质．