Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF．说明：

（1）CD=EB；

（2）AB=AF+2EB．

　

Answer 1

【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．

【专题】证明题；图形的全等．

【分析】（1）由AD为角平分线，利用角平分线定理得到DE=DC，再由BD=DF，利用HL得到三角形FCD与三角形BDF全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；

（2）利用AAS得到三角形ACD与三角形AED全等，利用全等三角形对应边相等得到AC=AE，由AB=AE+EB，等量代换即可得证．

【解答】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，

∴DE=DC，

在Rt△CFD和Rt△EBD中，

，

∴Rt△CFD≌Rt△EBD（HL），

∴CD=EB；

（2）在△ACD和△AED中，

，

∴△ACD≌△AED（AAS），

∴AC=AE，

∴AB=AE+EB=AC+EB=AF+FC+EB=AF+2EB．

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．