Question

7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB的平分线CO交AB边于点O，以点O为圆心，OB为半径作⊙O．
（1）请判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若BO=1，∠BAC=30°，求△AOC的面积．

Answer 1

分析 （1）过点O作OE⊥AC于点E，由CO平分∠ACB，得出OE=OB，即可证出结论；
（2）先根据勾股定理求出BC，再求出AC，即可得出结果．

解答 （1）解：AC与⊙O相切，理由如下：
过点O作OE⊥AC于点E，如图所示：
∵∠ABC=90°，CO平分∠ACB，
∴OE=OB，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠A=30°，∠ABC=90°，
∴∠ACB=60°，
∵CO平分∠ACB，
∴∠OCB=30°，
∵在Rt△BCO中，BO=1，
∴OC=2，$BC=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，
∵∠A=30°，
∴AC=2BC=$2\sqrt{3}$，
∴${S_{△AOC}}=\frac{1}{2}AC•OE=\frac{1}{2}AC•OB=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1=\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的判定、角平分线的性质、勾股定理的运用以及三角形面积的计算；熟练掌握切线的判定方法，并能进行有关运算是解决问题的关键．