Question

解方程组

x2=1+(y-z)2 y2=2+(z-x)2 z2=3+(x-y)2

．

Answer 1

考点：高次方程

专题：

分析：先变形得出（x+y-z）（x-y+z）=1，（y+z-x）（y-z+x）=2，（z+x-y）（z-x+y）=3，设x+y-z=a，x-y+z=b，z-x+y=c，
得出新方程组，求出a b c的值，再代入求出即可．

解答：解：∵x²=1+（y-z）²，
∴x²-（y-z）²=1，
∴（x+y-z）（x-y+z）=1，（I）
同理y²=2+（z-x）²推出（y+z-x）（y-z+x）=2，（II）
同理z²=3+（x-y）²推出（z+x-y）（z-x+y）=3，（III）
设x+y-z=a，x-y+z=b，z-x+y=c，
则原方程组变形为：

ab=1 ac=2 bc=3

，
解得：

a1= 6 3 b1= 6 2 c1= 6

，

a2=- 6 3 b2=- 6 2 c2=- 6

，
即

x+y-z= 6 3 x-y+z= 6 2 z-x+y= 6

或

x+y-z=- 6 3 x-y+z=- 6 2 z-x+y=- 6

解得：

x1= 5 12 6 y1= 2 3 6 z1= 3 4 6

，

x2=- 5 12 6 y2=- 2 3 6 z2=- 3 4 6

．

点评：本题考查了解高次方程组的应用，用了换元法，题目比较好，但难度偏大．