Question

已知二次函数y=x²+2mx-m+1（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该二次函数图象的顶点P都在函数y=-x²+x+1的图象上；
（2）若顶点P的横、纵坐标相等，求P点坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用配方法将原式化为顶点式，找到二次函数的顶点表达式，此表达式对任意m值均成立，即可判定，不论m为何值，该二次函数图象的顶点P都在函数y=-x²+x+1的图象上；
（2）根据（1）中结论，令顶点横纵坐标相等即可得到关于m的方程，解出m的值即可．
解答：（1）证明：y=x²+2mx-m+1=（x+m）²-m²-m+1．
则顶点P的坐标为 （-m，-m²-m+1）．
当x=-m时，y=-（-m）²+（-m）+1=-m²-m+1．
故不论m为何值，该二次函数图象的顶点P都在函数y=-x²+x+1的图象上．
（用顶点坐标公式求出顶点坐标参照给分）
（2）解：根据题意得：-m=-m²-m+1．
解得：m=±1．
故点P的坐标为 （1，1）或 （-1，-1）．
点评：本题考查了二次函数的性质，将二次函数配方，得到顶点式是解题的关键．