Question

【题目】已知点D为 内部（包括边界但非A、B、C）上的一点．

（1）若点D在边AC上，如图①，求证：AB + AC> BD + DC

（2）若点D在内，如图②，求证：AB + AC> BD + DC

（3）若点D在内，连结DA、DB、DC，如图③求证：(AB + BC + AC) < DA + DB + DC < AB + BC + AC

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

（1）根据三角形的三边关系和不等式的基本性质即可得出结论；

（2）延长BD交AC于E，根据三角形的三边关系和不等式的基本性质即可得出结论；

（3）根据三角形的三边关系和不等式的基本性质即可得出结论．

解：（1）∵ AB + AD>BD

∴ AB + AD +DC > BD +DC

∴ AB + AC>BD +DC

（2）延长BD交AC于E

∵ AB + AE > BD + DE①

DE +EC >DC ②

∴由①+②，得AB + AE+ DE +EC＞BD + DE+ DC

整理，得AB+AC>BD+DC

（3）∵ AD+BD>AB ①

BD+DC>BC ②

AD+DC>AC③

∴ 把① + ② +③ 得 AD+BD+BD+DC+ AD+DC＞AB＋BC＋AC

整理，得 AD+DB+DC>(AB+BC+AC)

又∵ 由上面（2）式得到：

DB+DA<AC+BC ①

DB+DC<AB+AC ②

DA+DC<AB+BC③

∴ 把① + ② +③ 得DB+DA+ DB+DC+ DA+DC＜AC+BC+ AB+AC+ AB+BC

整理得 DA+DB+DC<AB+BC+AC

∴(AB + BC + AC) < DA + DB + DC < AB + BC + AC