Question

【题目】如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），交y轴于点B（0，）．直线y=kx过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．

（1）求抛物线y=x2+bx+c与直线y=kx的解析式；

（2）设点P是直线AD下方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为m，点P的横坐标为x，求m与x的函数关系式，并求出m的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣，y=x+；（2）P的坐标是（2，﹣3）和（4，﹣）；理由见解析；（3）当x=3时，m的最大值是15，

【解析】

试题分析：（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于b、c的方程组，通过解方程组可以求得b、c的值；把点A的坐标代入一次函数解析式，列出关于k的方程，通过解方程求得k的值；

（2）根据平行四边形的性质推知EC=PM．易求点D的坐标是（8，7），点C的坐标是（0，），则CE=6．设P的坐标是（x，x2﹣x﹣），则M的坐标是（x，x+），

则PM=（x+）﹣（x2﹣x﹣）=﹣x2+x+4，所以由EC=PM得到﹣x2+x+4=6，通过解方程求得点P的坐标是（2，﹣3）和（4，﹣）；

（3）通过相似三角形△PMN∽△CDE的性质推知：=，把相关数据代入并整理可以得出m与x的函数关系式是：m=﹣x2+x+=﹣（x﹣3）2+15，

由抛物线的性质可以得到：m有最大值，当x=3时，m的最大值是15．

解：（1）∵y=x2+bx+c经过点A（﹣2，0）和B（0，）

∴由此得，解得

∴抛物线的解析式是y=x2﹣x﹣；

∵直线y=kx经过点A（﹣2，0）

∴﹣2k+=0，

解得：k=，

∴直线的解析式是 y=x+；

（2）可求D的坐标是（8，7），点C的坐标是（0，），

∴CE=6，

设P的坐标是（x，x2﹣x﹣），则M的坐标是（x，x+）

因为点P在直线AD的下方，

此时PM=（x+）﹣（x2﹣x﹣）=﹣x2+x+4，

由于PM∥y轴，要使四边形PMEC是平行四边形，必有PM=CE，

即﹣x2+x+4=6

解这个方程得：x1=2，x2=4，

当x=2时，y=﹣3，

当x=4时，y=﹣，

因此，直线AD下方的抛物线上存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形，

点P的坐标是（2，﹣3）和（4，﹣）；

（3）在Rt△CDE中，DE=8，CE=6 由勾股定理得：DC==10

∴△CDE的周长是24，

∵PM∥y轴，∴∠PMN=∠DCE，

∵∠PNM=∠DEC=90°，∴△PMN∽△CDE，

∴=，即 =，

化简整理得：m与x的函数关系式是：m=﹣x2+x+，

m=﹣x2+x+=﹣（x﹣3）2+15，

∵﹣＜0，

∴m有最大值，当x=3时，m的最大值是15．