如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的斜边OA在x轴上，点B在第一象限内，AO=4，∠BOA=30°．点C（t，0）是x轴正半轴上一动点（t＞0且t≠4）：分析 （1）作BE⊥OA于E，则∠BEO=90°，先由三角函数求出OB，再由三角函数求出BE、OE，即可得出点B的坐标；用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）先求出OB的中垂线的解析式，得出P（$\frac{t}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}t$+2$\sqrt{3}$），把点P坐标代入抛物线解析式，解方程求出t，即可得出P、C的坐标；
（3）连接CD，则CD为直径，得出∠DBC=90°；分两种情况：
①当点C在线段OA上时，证明△ABC∽△OBD，得出比例式$\frac{OD}{AC}=\frac{OB}{AB}$，即可得出OD，根据勾股定理即可求出CD的最小值；
②当点C在点A右边（t＞4）时，同理可得：△ABC∽△OBD，得出OD=$\sqrt{3}$t-4$\sqrt{3}$；根据勾股定理即可得出CD的最小值．
解答 解：（1）作BE⊥OA于E，如图1所示：
则∠BEO=90°，
∵∠ABO=90°，∠BOA=30°，
∴OB=OA•cos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴BE=$\frac{1}{2}$OB=$\sqrt{3}$，
∴OE=$\sqrt{3}$BE=3，
∴点B的坐标为：（3，$\sqrt{3}$）；
故答案为：（3，$\sqrt{3}$）；
∵O（0，0），A（4，0），B（3，$\sqrt{3}$），
∴过点O、B、A的抛物线解析式为y=ax2+bx，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b=0}&{\;}\\{9a+3b=\sqrt{3}}&{\;}\end{array}\right.$，
解得：a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴过点O、B、A的抛物线解析式为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x；
故答案为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x；
（2）如图2所示：
∵外接圆圆心P是直线x=$\frac{t}{2}$与OB的中垂线交点，
∴点P的横坐标为$\frac{t}{2}$，
∵OB的中垂线过点（2，0）和OB的中点（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
设OB的中垂线的解析式为：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{\frac{3}{2}k+b=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
解得k=-$\sqrt{3}$，b=2$\sqrt{3}$，
∴OB的中垂线的解析式为：y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$，
∴P（$\frac{t}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}t$+2$\sqrt{3}$），
要使P在抛物线上，则P点坐标满足$\frac{\sqrt{3}}{2}$t+2$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×（$\frac{t}{2}$）2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$×$\frac{t}{2}$，
解得：t=2，或t=12，
∴P点的坐标为（1，$\sqrt{3}$），或（6，-4$\sqrt{3}$），
点C的坐标为（2，0），或（12，0）；
（3）连接CD、BD，如图3所示：
则CD为直径，
∴∠DBC=90°；
分两种情况：①当点C在线段OA上时，
∵∠DBC=∠OBA=90°，
∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°，
即∠1=∠2，
又∵∠BOD=∠BAC=60°，
∴△ABC∽△OBD，
∴$\frac{OD}{AC}=\frac{OB}{AB}$，
∴OD=$\frac{（4-t）×2\sqrt{3}}{2}$=-$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$，
根据勾股定理得：CD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{（-\sqrt{3}t+4\sqrt{3}）^{2}+{t}^{2}}$=$\sqrt{4（t-3）^{2}+12}$，
∴当t=3时，CD有最小值为2$\sqrt{3}$；
②当点C在点A右边（t＞4）时，
同理可得：△ABC∽△OBD，
∴OD=$\sqrt{3}$t-4$\sqrt{3}$；
根据勾股定理得：CD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}t-4\sqrt{3}）^{2}+{t}^{2}}$=$\sqrt{4（t-3）^{2}+12}$，
∴当t=3时，CD有最小值为2$\sqrt{3}$；
综上所述：OD为-$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$，或$\sqrt{3}$t-4$\sqrt{3}$；CD的最小值为2$\sqrt{3}$．
点评 本题是圆的综合题目，考查了坐标与图形性质、三角函数、用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、最小值等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形相似和求出直线的解析式才能得出结果．
科目：初中数学 来源： 题型：选择题
| A． | 0＜d＜4 | B． | d＞10 | C． | 0≤d＜4或d＞10 | D． | 4＜d＜10 |
查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：选择题
| A． | 16和15 | B． | 16和15.5 | C． | 16和16 | D． | 15.5和15.5 |
查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：选择题
如图，从位于六和塔的观测点C测得两建筑物底部A，B的俯角分别为45°和60°．若此观测点离地面的高度CD为30米，A，B两点在CD的两侧，且点A，D，B在同一水平直线上，则A，B之间的距离为（ ）米．| A． | 30+10$\sqrt{3}$ | B． | 40$\sqrt{3}$ | C． | 45 | D． | 30+15$\sqrt{3}$ |
查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：选择题
如图，A、C分别是x轴、y轴上的点，双曲线y=$\frac{2}{x}$（x＞0）与矩形OABC的边BC、AB分别交于E、F，若AF：BF=1：2，则△OEF的面积为（ ）| A． | 2 | B． | $\frac{8}{3}$ | C． | 3 | D． | $\frac{10}{3}$ |
查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：解答题
查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：选择题
如图，从白塔山山顶A外测得正前方的长江两岸B、C的俯角分别为30°，75°，白塔山的高度AD是600m，则长江的宽度BC等于（ ）| A． | 300（$\sqrt{3}$+1）m | B． | 1200（$\sqrt{3}$-1）m | C． | 1800（$\sqrt{3}$-1）m | D． | 2400（$\sqrt{2}$-1）m |
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com
如图，在?ABCD中，O是对角线BD的中点，过O点的一条直线分别与BC相交于E，与AD相交于F，求证：四边形AECF是平行四边形．