Question

3．如图，在?ABCD中，O是对角线BD的中点，过O点的一条直线分别与BC相交于E，与AD相交于F，求证：四边形AECF是平行四边形．

Answer 1

分析 通过全等三角形（△FOD≌△EOB）的对应边相等易得FD=EB，则由相关线段间的和差关系得到AF=CE，所以根据“有一组对边平行且相等”的判定定理证得结论即可．

解答 证明：∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠FDO=∠EBO．
又∵O是BD的中点，EF过O点，
∴OD=OB，∠FOD=∠EOB．
∴在△FOD与△EOB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FOD=∠EOB}\\{DO=OB}\\{∠FDO=∠EBO}\end{array}\right.$，
∴△FOD≌△EOB（ASA），
∴FD=EB，
∴AF=AD-FD=BC-EB=CE，即有AF∥CE且AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形．（用其他方法证明的，如利用平行四边形的中心对称性质证明的，参照给分）

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．