Question

【题目】如图1，抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，点抛物线的顶点.

（1）求直线的解析式；

（2）抛物线对称轴交轴于点，为直线上方的抛物线上一动点，过点作于点，当线段的长最大时，连接，过点作射线，且，点为射线上一动点（点不与点重合），连接，为中点，连接，求的最小值；

（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点在射线上移动，点，平移后的对应点分别为点，，轴上有一动点，连接，，是否能为等腰直角三角形？若能，请求出所有符合条件的点的坐标；若不能，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）,,.

【解析】

（1）首先求出B、D两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题；
（2）如图2中，设P（m，-m2+m+2），连接PD、PB，作PQ⊥OB于Q．由题意欲求PF的最大值，易知当△PBD面积最大时，PF的值最大，由S△PBD=S△PDE+S△PEB-S△EDB，构建二次函数，求出PF的值最大时，点P的坐标为（2，2），易知点H的运动轨迹是线段PE的垂直平分线，易知当AH垂直PE的垂直平分线时，AH的值最小．利用相似三角形的性质求出AK，即可解决问题；
（3）如图3中，作MN⊥BD于N．当MN=BD时，存在△MB'D'为等腰直角三角形（只要D′或B′与N重合即可），易知H（0，4），由△HMN∽△DBE，可得，推出HM=,推出OM=HM-OH=-4=，可得M（0，-），点M关于H的对称点M′也满足条件，此时M′（0，），当M″是HM的中点时，M″是等腰三角形△M″B′D′的直角顶点；

（1）把代入，得，解得：，

∴，

∵

∴

设直线的解析式为

把，代入，得：，解得：

∴直线的解析式为

（2）如图2中，设P（m，-m2+m+2），连接PD、PB，作PQ⊥OB于Q．

由题意欲求PF的最大值，易知当△PBD面积最大时，PF的值最大，
S△PBD=S△PDE+S△PEB-S△EDB=××（m-）+×2×（-m2+m+2）-×2×=-（m-2）2+，
∵-＜0，
∴m=2时，△PBD的面积最大，PF的值最大，
∴此时P（2，2），
易知点H的运动轨迹是线段PE的垂直平分线，
∴当AH垂直PE的垂直平分线时，AH的值最小，设AH交EM于K，
在Rt△EPQ中，PE=，
由△AKE∽△EQP，得到，
∴AK=，易知HK=NE=PE=，
∴AH=AK+KH=．

（3）如图3中，作MN⊥BD于N．

∵B（3，0），D（，），
∴BD=，
当MN=BD时，存在△MB'D'为等腰直角三角形（只要D′或B′与N重合即可），
∵直线BD的解析式为y=-x+4，直线BD与y轴的交点H（0，4），
∵△HMN∽△DBE，
∴，
∴，
∴HM=,

∴OM=HM-OH=-4=,∴M（0，-），
点M关于H的对称点M′也满足条件，此时M′（0，），
当M″是HM的中点时，M″是等腰三角形△M″B′D′的直角顶点，此时M″（0，），
综上所述，满足条件的点M的坐标为（0，-）或（0，）或（0，）．