Question

【题目】如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为半径OH上一点，点E，F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．

（1）求证：直线FG是⊙O的切线；
（2）若CD=10，EB=5，求⊙O的直径．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1，连接OE，

∵OA=OE，

∴∠EAO=∠AEO，

∵AE平分∠FAH，

∴∠EAO=∠FAE，

∴∠FAE=∠AEO，

∴AF∥OE，

∴∠AFE+∠OEF=180°，

∵AF⊥GF，

∴∠AFE=∠OEF=90°，

∴OE⊥GF，

∵点E在圆上，OE是半径，

∴GF是⊙O的切线

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，CD=10，

∴AB=CD=10，∠ABE=90°，

设OA=OE=x，则OB=10﹣x，

在Rt△OBE中，∠OBE=90°，BE=5，

由勾股定理得：OB2+BE2=OE2，

∴（10﹣x）2+52=x2，

∴ ，

，

∴⊙O的直径为

【解析】（1）根据OA=OE和AE平分∠FAH，易证得AF∥OE，再由FG⊥AF，从而证得OE⊥GF，即可得出结论。
（2）由四边形ABCD是矩形，可求出AB的长及∠ABE=90°，已知EB=5，因此连接OE，在Rt△OBE中，设圆的半径为x，可表示出OB的长，根据勾股定理即可求得圆的半径和直径。
【考点精析】利用勾股定理的概念和矩形的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．