Question

【题目】A，B是⊙C上的两个点，点P在⊙C的内部．若∠APB为直角，则称∠APB为AB关于⊙C的内直角，特别地，当圆心C在∠APB边（含顶点）上时，称∠APB为AB关于⊙C的最佳内直角．如图1，∠AMB是AB关于⊙C的内直角，∠ANB是AB关于⊙C的最佳内直角．在平面直角坐标系xOy中．

（1）如图2，⊙O的半径为5，A（0，﹣5），B（4，3）是⊙O上两点．

①已知P1（1，0），P2（0，3），P3（﹣2，1），在∠AP1B，∠AP2B，∠AP3B，中，是AB关于⊙O的内直角的是　 　；

②若在直线y=2x+b上存在一点P，使得∠APB是AB关于⊙O的内直角，求b的取值范围．

（2）点E是以T（t，0）为圆心，4为半径的圆上一个动点，⊙T与x轴交于点D（点D在点T的右边）．现有点M（1，0），N（0，n），对于线段MN上每一点H，都存在点T，使∠DHE是DE关于⊙T的最佳内直角，请直接写出n的最大值，以及n取得最大值时t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①∠AP2B，∠AP3B；②﹣5＜b≤5；（2）n的最大值为2；t的取值范围是﹣﹣1≤t＜5

【解析】

（1）判断点P1，P2，P3是否在以AB为直径的圆弧上即可得出答案；

（2）求得直线AB的解析式，当直线y=2x+b与弧AB相切时为临界情况，证明△OAH∽△BAD，可求出此时b=5，则答案可求出；

（3）可知线段MN上任意一点（不包含点M）都必须在以TD为直径的圆上，该圆的半径为2，则当点N在该圆的最高点时，n有最大值2，再分点H不与点M重合，点M与点H重合两种情况求出临界位置时的t值即可得解．

解：（1）如图1，

，，，

，，，

不在以为直径的圆弧上，

故不是关于的内直角，

，，，

，，，

，

，

是关于的内直角，

同理可得，，

是关于的内直角，

故答案为：，；

（2）是关于的内直角，

，且点在的内部，

满足条件的点形成的图形为如图2中的半圆（点，均不能取到），

过点作轴于点，

，，

，，

并可求出直线的解析式为，

当直线过直径时，，

连接，作直线交半圆于点，过点作直线，交轴于点，

，，

，

，

是半圆的切线．

，，

，

，

，

，

，，

，

，

，直线的解析式为，

直线的解析式为，此时，

的取值范围是．

（3）对于线段上每一个点，都存在点，使是关于的最佳内直角，

点一定在的边上，

，，线段上任意一点（不包含点都必须在以为直径的圆上，该圆的半径为2，

当点在该圆的最高点时，有最大值，

即的最大值为2．

分两种情况：

①若点不与点重合，那么点必须在边上，此时，

点在以为直径的圆上，

如图3，当与相切时，，

，，

，

，，，

，

，

，

，

当与重合时，，

此时的取值范围是，

②若点与点重合时，临界位置有两个，一个是当点与重合时，，另一个是当时，，

此时的取值范围是，

综合以上可得，的取值范围是．