【题目】如图,在△ABO中,OA=OB,C是边AB的中点,以O为圆心的圆过点C,连接OC,AO延长线交⊙O于点D,OF是∠DOB的平分线,E为OF上一点,连接BE.
(1)求证:AB与⊙O相切;
(2)①当∠OEB=_____时,四边形OCBE为矩形;
②在①的条件下,若AB=4,则OA=_____时,四边形OCBE为正方形?
【答案】 90°
【解析】试题分析:(1)根据等腰三角形的三线合一得到OC⊥AB,根据切线的判定定理证明;
(2)①根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到OF∥BC,根据平行线的性质解答;
②根据邻边相等的矩形是正方形计算.
试题解析:(1)证明:∵OA=OB,C是边AB的中点,∴OC⊥AB,∴AB与⊙O相切;
(2)解:①当∠OEB=90°时,四边形OCBE为矩形,证明如下:
∵OA=OB,∴∠A=∠OBA.∵OF是∠DOB的平分线,∴∠DOF=∠BOF,由三角形的外角的性质可知,∠DOF+∠BOF=∠A+∠OBA,∴∠BOF=∠OBA,∴OF∥BC,当∠OEB=90°时,∠CBE=90°,又OC⊥AB,∴四边形OCBE为矩形.故答案为:90°;
②当OA=2时,四边形OCBE为正方形,证明如下:
∵四边形OCBE为正方形,∴CO=CB,∴OA=OB==2.故答案为:2.
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【题目】如图1,以△ABC的边AB为直径作⊙O,交AC边于点E,BD平分∠ABE交AC于F,交⊙O于点D,且∠BDE=∠CBE.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)延长ED交直线AB于点P,如图2,若PA=AO,DE=3,DF=2,求的值及AO的长.
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【题目】某校举行全体学生“汉字听写”比赛,每位学生听写汉字39个.随机抽取了部分学生的听写结果,绘制成如下的图表.
根据以上信息完成下列问题:
(1)统计表中的m= ,n= ,并补全条形统计图;
(2)扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是 ;
(3)已知该校共有900名学生,如果听写正确的字的个数少于24个定为不合格,请你估计该校本次听写比赛不合格的学生人数.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c(b,c为常数)的顶点为P,等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,﹣1),C的坐标为(4,3),直角顶点B在第四象限.
(1)如图,若该抛物线过A,B两点,求该抛物线的函数表达式;
(2)平移(1)中的抛物线,使顶点P在直线AC上滑动,且与AC交于另一点Q.
(i)若点M在直线AC下方,且为平移前(1)中的抛物线上的点,当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时,求出所有符合条件的点M的坐标;
(ii)取BC的中点N,连接NP,BQ.试探究是否存在最大值?若存在,求出该最大值;若不存在,请说明理由.
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【题目】下列说法:①的5倍与的和的一半用代数式表示是;②,都是单项式,也都是整式;③(、、是常数,)是二次三项式;④,,5是的项;⑤单项式的系数是-1,次数是3,其中正确的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】观察下面的点阵图形和与之相对应的等式,探究其中的规律:
(1)请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式:
①;
②;
③;
④ _______________;
⑤_______________;
…… ……
(2)通过猜想,写出与第n个图形相对应的等式:____________________,并说明你猜想的正确性(写出说明过程).
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【题目】设P(x,0)是x轴上的一个动点,它与原点的距离为y1.
(1)求y1关于x的函数解析式,并画出这个函数的图象;
(2)若反比例函数y2的图象与函数y1的图象相交于点A,且点A的纵坐标为2.
①求k的值;
②结合图象,当y1>y2时,写出x的取值范围.
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【题目】如图,已知数轴上的点A对应的数为6,B是数轴上的一点,且AB=10,动点P从点A出发,以每秒6个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动,设运动时间为t秒(t>0).
(1)数轴上点B对应的数是_______,点P对应的数是_______(用t的式子表示);
(2)动点Q从点B与点P同时出发,以每秒4个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动,试问:运动多少时间点P可以追上点Q?
(3)M是AP的中点,N是PB的中点,点P在运动过程中,线段MN的长度是否发生变化?若有变化,说明理由;若没有变化,请你画出图形,并求出MN的长.
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【题目】已知AC⊥BC于C,BC=a,CA=b,AB=c,下列图形中⊙O与△ABC的某两条边或三边所在的直线相切,则⊙O的半径为的是( )
A. B. C. D.
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