如图.在平面直角坐标系中.一次函数y=34x+3的图象分别与x.y轴交于A.B两点.点C在一次函数y=34x+3的图象上.且AB=BC.二次函数y=x2+bx+c的图象经过点B.C．(1)求二次函数y=x2+bx+c的解析式,(2)点M为位于BC下方的抛物线上一动点.求点M运动到什么位置时.△BCM的面积最大?(3)直线BC上是否存在异于B.C的一点P.作PQ∥y轴交与� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=

x+3的图象分别与x、y轴交于A、B两点，点C在一次函数y=

x+3的图象上，且AB=BC，二次函数y=x²+bx+c的图象经过点B、C．
（1）求二次函数y=x²+bx+c的解析式；
（2）点M为位于BC下方的抛物线上一动点，求点M运动到什么位置时，△BCM的面积最大？
（3）直线BC上是否存在异于B、C的一点P，作PQ∥y轴交与二次函数于点Q，使PQ=BP？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）利用直线解析式求出点A、B的坐标，再求出点C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）过点M作MN∥y轴与BC相交于点N，表示出MN，再根据S_△BCM=S_△BMN+S_△CMN列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答；
（3）利用勾股定理列式求出AB，根据抛物线与直线解析式表示出PQ，再利用锐角的正弦表示出BP，然后列出方程求解即可．

解答：解：（1）令y=0，则

x+3=0，解得x=-4，
令x=0，则y=3，
所以，点A（-4，0），B（0，3），
∵AB=BC，
∴点C的坐标为（4，6），
将点B、C的坐标代入y=x²+bx+c得

c=3

16+4b+c=0

，
解得

b=-

c=3

．
所以，二次函数解析式为y=x²-

x+3；

（2）如图，过点M作MN∥y轴与BC相交于点N，

则MN=（

x+3）-（x²-

x+3）=-x²+4x，
所以，S_△BCM=S_△BMN+S_△CMN，
=

（-x²+4x）×4=，
=-2（x-2）²+8，
∴当x=2时，△BCM的面积最大为8，
此时，x²-

x+3=2²-

×2+3=

，
点M的坐标为（2，

）；

（3）由勾股定理得，AB=

OA2+OB2

42+32

=5，

PQ=|x²-

x+3-（

x+3）|=|x²-4x|，
BP=|x|÷

|x|，
∵PQ=BP，
∴|x²-4x|=

|x|，
∴x²-4x=

x，x²-4x=-

x，
解得x=

或x=

，
当x=

时，y=

+3=

111

，
当x=

时，y=

+3=

，
所以，点P的坐标为（

，

111

）或（

，

）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，二次函数的最值问题，锐角三角函数，难点在于（2）把△BCM分成两个三角形，（3）表示出PQ、BP的长度，然后列出方程．

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