如图.四边形OABC为矩形.以点O为原点建立直角坐标系.点C在x轴的正半轴上.点A在y轴的正半轴上.已知点B为(2.4).反比例函数y=mx图象经过AB的中点D.且与BC交于点E．(1)求m的值和点E的坐标,(2)求直线DE的解析式,(3)点Q为x轴上一点.点P为反比例函数y=mx图象上一点.是否存在点P.Q.使得以P.Q.D.E为顶点的四边形为平行四边形?如果存在.请求出点P� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，四边形OABC为矩形，以点O为原点建立直角坐标系，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B为（2，4），反比例函数y=

图象经过AB的中点D，且与BC交于点E．
（1）求m的值和点E的坐标；
（2）求直线DE的解析式；
（3）点Q为x轴上一点，点P为反比例函数y=

图象上一点，是否存在点P、Q，使得以P、Q、D、E为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）根据矩形的性质以及点B为（2，4），求得D的坐标，代入反比例函数y=

中，即可求得m的值，令x=4，即可求得E的坐标；
（2）依据D、E的坐标联立方程，应用待定系数法即可求得；
（3）根据题意得出P的纵坐标为-3，代入反比例函数的解析式即可求得．

解答：解：（1）∵四边形OABC为矩形，点B为（2，4），
∴AB=2，BC=4，
∵D是AB的中点，
∴D（1，4），
∵反比例函数y=

图象经过AB的中点D，
∴4=

，m=4，
∴反比例函数为y=

，
令x=2，则y=2，
∴E的坐标（2，2）；
（2）∵D（1，4），E（2，1），
设直线DE的解析式为y=kx+b，
∴

k+b=4

2k+b=2

，解得

k=-2

b=6

，
∴直线DE的解析式为y=-2x+6；

（3）存在；
∵D（1，4），E（2，2），以P、Q、D、E为顶点的四边形为平行四边形，
∴PQ∥DE，且PQ=DE，
∵Q的纵坐标为0，
∴P的纵坐标为±2，
令y=2，则2=

，解得x=2，
令y=-2，则-2=

，解得x=-2，
∵E（2，2），
∴P点的坐标为（-2，-2）．

点评：本题是反比例函数的综合题，考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法的应用以及平行四边形的性质等．

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