Question

如下图，在△ABC中，AP平分∠CAB（∠CAB＜60°）
（1）如图（1）点P在BC上，若∠CAB=42°，∠B=32°，确定AB，AC，PB之间的数量关系，并证明．
（2）如图（2），点P在△ABC内，若∠CAB=2α，∠ABC=60°-α，且∠CBP=30°，求∠APC的度数（用含α的式子表示）．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）在AB上截取AD，使AD=AC．连PD即可求证△ACP≌△ADP即可求得∠4=∠5，即可解题；
（2）延长AC至M，使AM=AB，连接PM、BM，可证△AMP≌△ABP，进而可以求证△PMB为等边三角形，即可求得∠ACP的度数，即可解题．

解答：解：（1）AB-AC=PB；
证明：在AB上截取AD，使AD=AC．连PD（如图1）

∵AP平分∠CAB，
∴∠1=∠2
在△ACP和△ADP中，

AC=AD ∠1=∠2 AP=AP

，
∴△ACP≌△ADP（SAS），
∴∠C=∠3．
∵△ABC中，∠CAB=42°，∠ABC=32°，
∴∠C=180°-∠CAB-∠ABC=180°-42°-32°=106°．
∴∠3=106°．
∴∠4=180°-∠3=180°-106°=74°，
∠5=∠3-∠ABC=106°-32°=74°．
∴∠4=∠5．
∴PB=DB．
∴AB-AC=AB-AD=DB=PB．
（2）延长AC至M，使AM=AB，连接PM，BM．（如图2）

∵AP平分∠CAB，∠CAB=2α，
∴∠1=∠2=

1

2

•2α=α．
在△AMP和△ABP中，

AM=AB ∠1=∠2 AP=AP

，
∴△AMP≌△ABP（SAS），
∴PM=PB，∠3=∠4．
∵∠ABC=60°-α，∠CBP=30°，
∴∠4=（60°-α）-30°=30°-α．
∴∠3=∠4=30°-α．
∵△AMB中，AM=AB，
∴∠AMB=∠ABM=（180°-∠MAB）÷2=（180°-2α）÷2=90°-α．
∴∠5=∠AMB-∠3=（90°-α）-（30°-α）=60°．
∴△PMB为等边三角形．
∵∠6=∠ABM-∠ABC=（90°-α）-（60°-α）=30°，
∴∠6=∠CBP．
∴BC平分∠PBM．
∴BC垂直平分PM．
∴CP=CM．
∴∠7=∠3=30°-α．
∴∠ACP=∠7+∠3=（30°-α）+（30°-α）=60°-2α．
∴△ACP中，∠APC=180°-∠1-∠ACP
=180°-α-（60°-2α）
=120°+α．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题，（1）中求证△ACP≌△ADP，（2）中求证△AMP≌△ABP是解题的关键．