Question

如图，线段AB的长为2，C为线段AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE．
（1）设DE的长为y，AC的长为x，求出y与x的函数关系式；
（2）求出DE的最小值．

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）设AC=x，则BC=2-x，然后分别表示出DC、EC，继而在RT△DCE中，利用勾股定理求出DE长度的表达式；
（2）利用函数的性质进行解答即可．

解答：解：如图，

设AC=x，则BC=2-x，
∵△ACD和△BCE分别是等腰直角三角形，
∴∠DCA=45°，∠ECB=45°，DC=

2

2

x，CE=

2

2

（2-x），
∴∠DCE=90°，
故DE²=DC²+CE²=

1

2

x²+

1

2

（2-x）²=x²-2x+2=（x-1）²+1，
∴y=

(x-1)2+1

．
（2）y=

(x-1)2+1

当x=1时，DE取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1．

点评：此题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是表示出DC、CE，得出DE的表达式，还要求我们掌握配方法求二次函数最值．