Question

某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩．
Q=W+100，而W的大小与运输次数n及平均速度x （km/h）有关（不考虑其他因素），W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比．试行中得到了表中的数据．

次数n	2	1
速度x	40	60
指数Q	420	100

（1）用含x和n的式子表示Q；
（2）若n=3，要使Q最大，确定x的值；
（3）设n=2，x=40，能否在n增加m% （m＞0）同时x减少m%的情况下，而Q的值仍为420？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）根据题目所给的信息，设W=k₁x²+k₂nx，然后根据Q=W+100，列出用Q的解析式；
（2）把n=3代入，确定函数关系式，然后求Q最大值时x的值即可；
（3）根据题意列出关系式，求出当Q=420时m的值即可．

解答：解：（1）设W=k₁x²+k₂nx，
∴Q=k₁x²+k₂nx+100．
由表中数据，得

420=402k1+2×40nk2+100 100=602k1+1×60nk2+100

，
解得

k1=- 1 10 k2=6.

∴Q=-

1

10

x²+6nx+100．
（2）当n=3时，
Q=-

1

10

x²+18x+100．
由n=-

1

10

＜0，
可知，要使Q最大，x=-

18

2×(- 1 10 )

=90．
（3）由题意，得420=-

1

10

[40（1-m%）]²+6×2（1+m%）×40（1-m%）+100．
即2（m%）²-m%=0，解得m%=

1

2

，或m%=0（舍去）．
∴m=50．

点评：本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是根据题目中所给的信息，读懂题意列出函数关系式，要求同学们掌握求二次函数最值的方法，利用数学知识解决实际问题的能力．