Question

如图所示，△ABC的高AD、BE相交于点H，若BH=AC，则下列结论：
①AE=CE；②∠ABC=45°；③DH=DC；④∠CED=45°
成立的有（　　）

• A、①②
• B、①②③
• C、②③④
• D、①②③④

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：①当AB=CB时，该结论成立，否则不成立；
②求出∠ADC=∠BDH=90°，∠CAD=∠DBH，根据AAS推出△ADC≌△BDH，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出即可；
③根据全等三角形的性质得出即可；
④证A、B、D、E四点共圆，根据圆内接四边形的性质得出即可．

解答：解：①∵BE是△ABC的高，
∴只有当AB=CB时，点E是AC的中线，即AE=CE．
故①错误；

②∵△ABC的高AD、BE交于点H，
∴∠BEC=∠ADC=∠BDH=90°，
∴∠DBH+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，
∴∠DBH=∠DAC，
在△ADC和△BDH中，

∠DAC=∠DBH ∠ADC=∠BDH AC=BH

，
∴△ADC≌△BDH（AAS），
∴AD=BD，
∵∠ADB=90°，
∴∠ABC=∠BAD=45°；
故②正确；

③∵△ADC≌△BDH，
∴DH=DC；
故③正确；

④∵∠AEB=∠ADB=90°，
∴A、B、D、E四点共圆，
∴∠CED=∠ABC=45°．
故④正确．
综上所述，正确的结论是：②③④．
故选：C．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，圆内接四边形的性质的应用，主要考查学生的推理能力，难度偏大．