Question

某商场经营一种新型节能灯．已知这种节能灯的进价为每个10元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=-10x+500，设商场获得的利润为w（元）．
（1）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？并求出最大利润；
（2）商场的营销部提出了A、B两种营销方案
方案A：该节能灯的销售单价高于进价且不超过25元；
方案B：每月销售量不少于80件，且每个节能灯的利润至少为26元．
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=（定价-进价）×销售量，从而列出关系式；
（2）分别求出方案A、B中x的取值范围，然后分别求出A、B方案的最大利润，然后进行比较．

解答：解：（1）由题意，得：w=（x-10）×y，
=（x-10）•（-10x+500）
=-10x²+600x-5000
=-10（x-30）²+4000，
即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润，最大利润为4000元．
（2））A方案利润高．
理由如下：
A方案中：10＜x≤25，
故当x=25时，w有最大值，
此时w_A=3750；
B方案中：

-10x+500≥80 x-10≥26

，
故x的取值范围为：36≤x≤42，
∵函数w=-10（x-30）²+4000，对称轴为直线x=30，
∴当x=36时，w有最大值，
此时w_B=3400，
∵w_A＞w_B，
∴A方案利润更高．

点评：此题考查了二次函数的性质及其应用以及抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．