Question

【题目】探究：如图①，点A在直线MN上，点B在直线MN外，连结AB，过线段AB的中点P作PC∥MN，交∠MAB的平分线AD于点C，连结BC，求证：BC⊥AD．

应用：如图②，点B在∠MAN内部，连结AB，过线段AB的中点P作PC∥AM，交∠MAB的平分线AD于点C；作PE∥AN，交∠NAB的平分线AF于点E，连结BC、BE．若∠MAN＝150°，则∠CBE的大小为______度．

Answer 1

【答案】探究：证明见解析；应用：150．

【解析】

探究：根据角平分线的定义和平行线的性质得出∠PCA=∠PAC，根据等角对等边得出PC=PA，再得出PC=PB，利用三角形的内角和证明即可；

应用：根据探究中的证明得出∠BAC+∠BAE+∠CBA+∠ABE=180°，再由角平分线得出∠BAC+∠BAE=75°，最后得出答案即可．

解：探究：∵PC∥MN，

∴∠PCA=∠MAC．

∵AD为∠MAB的平分线，

∴∠MAC=∠PAC．

∴∠PCA=∠PAC，

∴PC=PA．

∵PA=PB，

∴PC=PB，

∴∠B=∠BCP．

∵∠B+∠BCP+∠PCA+∠PAC=180°，

∴∠BCA=90°，

∴BC⊥AD；

应用：∵∠MAB的平分线AD，∠NAB的平分线AF，∠MAN=150°，

∴∠BAC+∠BAE=75°，

由探究得：∠BAC+∠BAE+∠CBA+∠ABE=180°，

∴∠CBE=∠CBA+∠ABE=180°﹣75°=105°

故答案为：105．