Question

【题目】在四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD．

（1）如图1，请连接AC，BD，求证：AC垂直平分BD；

（2）如图2，若∠BCD=60°，∠ABC=90°，E，F分别为边BC，CD上的动点，且∠EAF=60°，AE，AF分别与BD交于G，H，求证：△AGH∽△AFE；

（3）如图3，在（2）的条件下，若 EF⊥CD，直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

试题（1）由题意分别求出A,C点在BD垂直平分线上，所以AC就是BD的垂直平分线.(2) ，将△ABE绕点A逆时针旋转120得到△ADM．连接AC交BD于O．先证明F、D、M共线，再通过倒角得到∠GAH=∠FAE，所以△AGH∽△AFE．

（3）连接AC交BD于O，作HM⊥AD于M, 设HM=AM=a，则DH=2a，DM=a，

用a表示GH，BD,求出比值.

试题解析：

（1）证明：如图1中，连接BD、AC．

∵AB=AD，

∴点A在线段BD的垂直平分线上，

∵CB=CD，

∴点C在线段BD的垂直平分线上，

∴AC是线段BD的垂直平分线，

即AC垂直平分线段BD．

（2）如图2中，将△ABE绕点A逆时针旋转120°得到△ADM．连接AC交BD于O．

∵B、D关于AC对称，

∴∠ABC=∠ADC=90°，

∵∠BCD=60°，

∴∠BAD=120°，

∵∠EAF=60°，

∴∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠DAM=60°，

∴∠FAE=∠FAM，

∵∠ADM=∠ABE=90°=∠ADF，

∴F、D、M共线，

∵FA=FA，AE=AM，

∴△FAE≌△FAM，

∴∠AFE=∠AFM，

∵∠CAD=∠CAB=60°=∠EAF，

∴∠GAO=∠DAF，

∵∠AGO+∠GAO=90°，∠AFD+∠FAD=90°，

∴∠AGO=∠ADF，

∴∠AGH=∠AFE，∵∠GAH=∠FAE，

∴△AGH∽△AFE．

（3）解：如图3中，连接AC交BD于O，作HM⊥AD于M．

∵EF⊥CD，

∴∠EFD=90°，

由（2）可知∠AFD=∠AFE=∠AGO=45°，

∵∠ADF=90°，

∴AD=DF，设HM=AM=a，则DH=2a，DM=a，

在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，AD=（1+）a，

∴CD=BD=AD=（3+）a，

在Rt△AHD中，∵∠ADH=30°，AD=（1+）a，

∴AO=OG=AD=a，OD=OA=a，

∴OH=OD﹣DH=a，﹣2a=a,

∴GH=OG+OH=a，

∴.