Question

【题目】已知抛物线C：y=x2﹣2x+1的顶点为P，与y轴的交点为Q，点F（1，）．

（1）求tan∠OPQ的值；

（2）将抛物线C向上平移得到抛物线C′，点Q平移后的对应点为Q′，且FQ′=OQ′．

①求抛物线C′的解析式；

②若点P关于直线Q′F的对称点为K，射线FK与抛物线C′相交于点A，求点A的坐标．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）①y=x2﹣2x+，；②A（，）．．

【解析】

试题（1）求出于y轴交点，然后求tan∠OPQ的值.(2) ①先设出函数方程，再利用FQ′=OQ′，求出函数解析式.②把每一个点都用坐标表示出来，先求出FQ'解析式，利用FQ'⊥PK，求出PK解析式，求交点，再求出FK的解析式，与二次函数联立，得到A点坐标.

试题解析：

解：（1）∵y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，

∴顶点P（1，0），

∵当x=0时，y=1，

∴Q（0，1），

∴tan∠OPQ=1.

（2）①设抛物线C′的解析式为y=x2﹣2x+m，

∴Q′（0，m）其中m＞1，

∴OQ′=m，

∵F（1，），

过F作FH⊥OQ′，如图：

∴FH=1，Q′H=m﹣，

在Rt△FQ′H中，FQ′2=（m﹣）2+1=m2﹣m+，

∵FQ′=OQ′，

∴m2﹣m+=m2，

∴m=，

∴抛物线C′的解析式为y=x2﹣2x+，

②方法一：设点A（x0，y0），则y0=x02﹣2x0+①，

过点A作x轴的垂线，与直线Q′F相交于点N，则可设N（x0，n），

∴AN=y0﹣n，其中y0＞n，

连接FP，

∵F（1，），P（1，0），

∴FP⊥x轴，

∴FP∥AN，

∴∠ANF=∠PFN，

连接PK，则直线Q′F是线段PK的垂直平分线，

∴FP=FK，有∠PFN=∠AFN，

∴∠ANF=∠AFN，则AF=AN，

∵A（x0，y0），F（1，），

∴AF2=（x0﹣1）2+（y0﹣）2=x02﹣2x0+1+y02﹣y0+=x02﹣2x0++y02﹣y0=（x02﹣2x0+）+y02﹣y0，②

∵y0=x02﹣2x0+①，

将①右边整体代换②得，AF2=（x02﹣2x0+）+y02﹣y0=y0+y02﹣y0=y02，

∵y0＞0，

∴AF=y0，

∴y0=y0﹣n，

∴n=0，

∴N（x0，0），

设直线Q′F的解析式为y=kx+b，

,

解,

∴y=x+，

由点N在直线Q′F上，得，0=x+,

∴x0=,

将x0=代入y0=x2﹣2x0+，

∴y0=，

∴A（，）．

方法二：由①有，Q'（0，），F（1，），P（1，0），

∴直线FQ'的解析式为y=x+,①

∵FQ'⊥PK，P（1，0），

∴直线PK的解析式为y=x﹣，②

联立①②得出，直线FQ'与PK的交点M坐标为（，），

∵点P，K关于直线FQ'对称，

∴K（，），

∵F（1，），

∴直线FK的解析式为 y=x+③，

∵射线FK与抛物线C′：y=x2﹣2x+④相交于点A，

∴联立③④得，，,或（舍）,

∴A（，）．