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【题目】已知一次函数y=x+4的图象与二次函数y=ax(x﹣2)的图象相交于A(﹣1,b)和B,点P是线段AB上的动点(不与A、B重合),过点P作PCx轴,与二次函数y=ax(x﹣2)的图象交于点C.

(1)求a、b的值

(2)求线段PC长的最大值;

(3)若PAC为直角三角形,请直接写出点P的坐标.

【答案】(1)a=1b=3(2)当m=时,PC有最大值,最大值为(3)PAC为直角三角形,点P的坐标为P1(2,6),P2(3,7).

【解析】

试题分析:(1)根据自变量与函数值的对应关系,可得b,根据待定系数法,可得a;

(2)根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标,可得二次函数,根据二次函数的性质,可得答案;

(3)根据勾股定理,可得AP,CP的长,根据勾股定理的逆定理,可得关于m的方程,根据解方程,可得m的值,根据自变量与函数值的对应关系,可得答案.

解:(1)A(﹣1,b)在直线y=x+4上,

b=﹣1+4=3,

A(﹣1,3).

A(﹣1,3)在抛物线y=ax(x﹣2)上,

3=﹣a(﹣1﹣2),

解得:a=1.

(2)设P(m,m+4),则C(m,m2﹣2m).

PC=(m+4)﹣(m2﹣2m)

=﹣m2+3m+4

=﹣(m﹣2+

(m﹣2≥0,

﹣(m﹣2+

当m=时,PC有最大值,最大值为

(3)如图

P(m,m+4),C(m,m2﹣2m),

AP2=(m+1)2+(m+4﹣3)2=2(m+1)2,AC2=(m+1)2+(m2﹣2m﹣3)2,PC2=(﹣m2+3m+4)2

①当AP2+AC2=PC2时,即2(m+1)2+(m+1)2+(m2﹣2m﹣3)2=(﹣m2+3m+4)2

3(m+1)2+[(m2﹣2m﹣3)2﹣(﹣m2+3m+4)2]=0

化简,得(m+1)(m+1)(m﹣2)=0,

解得m=﹣1(不符合题意,舍),m=2,

当m=2时,m+4=6,即P(2,6);

②当AP2=AC2+PC2时,即2(m+1)2=(m+1)2+(m2﹣2m﹣3)2+(﹣m2+3m+4)2

化简,得

(m﹣4)(m+1)(m+1)(m﹣3)=0.

解得m=4(不符合题意,舍),m=﹣1(不符合题意,舍),m=3,

当m=3时,m+4=7,

即(3,7),

综上所述:若PAC为直角三角形,点P的坐标为P1(2,6),P2(3,7).

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