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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,且点B与点C的坐标分别为B(3,0).C(0,3),点M是抛物线的顶点.

(1)求二次函数的关系式;

(2)点P为线段MB上一个动点,过点P作PDx轴于点D.若OD=m,PCD的面积为S,试判断S有最大值或最小值?并说明理由;

(3)在MB上是否存在点P,使PCD为直角三角形?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.

【答案】(1)解析式为y=﹣x2+2x+3;(2)当m=时,S有最大值,最大值为; (3)存在,P点坐标为(,3)或(﹣3+3,12﹣6)时,PCD为直角三角形.

【解析】试题分析:(1)把B点和C点坐标代入y=﹣x2+bx+c得到关于bc的方程组,然后解方程组求出bc即可得到抛物线解析式;

2)把(1)中的一般式配成顶点式可得到M14),设直线BM的解析式为y=kx+n,再利用待定系数法求出直线BM的解析式,则Pm﹣2m+6)(1≤m3),于是根据三角形面积公式得到S=﹣m2+3m,然后根据二次函数的性质解决问题;

3)讨论:∠PDC不可能为90°;当∠DPC=90°时,易得﹣2m+6=3,解方程求出m即可得到此时P点坐标;当∠PCD=90°时,利用勾股定理得到和两点间的距离公式得到m2+﹣2m+32+32+m2=﹣2m+62

然后解方程求出满足条件的m的值即可得到此时P点坐标.

试题解析:(1)把B30),C03)代入y=﹣x2+bx+c,解得

所以抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3

2S有最大值.理由如下:

∵y=﹣x2+2x+3=﹣x﹣12+4

∴M14),

设直线BM的解析式为y=kx+n

B30),M14)代入得,解得

直线BM的解析式为y=﹣2x+6

∵OD=m

∴Pm﹣2m+6)(1≤m3),

∴S=m﹣2m+6=﹣m2+3m=﹣m﹣2+

∵1≤m3

m=时,S有最大值,最大值为

3)存在.

∠PDC不可能为90°

∠DPC=90°时,则PD=OC=3,即﹣2m+6=3,解得m=,此时P点坐标为(3),

∠PCD=90°时,则PC2+CD2=PD2,即m2+﹣2m+32+32+m2=﹣2m+62

整理得m2+6m﹣9=0,解得m1=﹣3﹣3(舍去),m2=﹣3+3

m=﹣3+3时,y=﹣2m+6=6﹣6+6=12﹣6,此时P点坐标为(﹣3+312﹣6),

综上所述,当P点坐标为(3)或(﹣3+312﹣6)时,△PCD为直角三角形.

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