Question

一次函数y＝x的图像如图所示，它与二次函数y＝ax²－4ax＋c的图像交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图像的对称轴交于点C．

   （1）求点C的坐标；

   （2）设二次函数图像的顶点为D．

①若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式；

②若CD＝AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式．

Answer 1

（1）y＝ax²－4ax＋c＝a(x－2)²－4a＋c．∴二次函数图像的对称轴为直线x＝2．

     当x＝2时，y＝x＝，∴C(2，)．

（2）①∵点D与点C关于x轴对称，∴D(2，－，)，∴CD＝3.

设A(m，m) (m<2)，由S_△ACD＝3，得×3×(2－m)＝3，解得m＝0，∴A(0，0). 

由A(0，0)、 D(2，－)得 解得a＝，c＝0.

∴y＝x²－x. 

②设A(m，m)(m<2)，过点A作AE⊥CD于E，则AE＝2－m，CE＝－m，

∵CD＝AC，∴CD＝(2－m).

由S_△ACD＝10得×(2－m)²＝10，解得m＝－2或m＝6（舍去），∴m＝－2．

∴A(－2，－)，CD＝5.

若a＞0，则点D在点C下方，∴D(2，－)，

由A(－2，－)、D(2，－)得

∴y＝x²－x－3. 

若a＜0，则点D在点C上方，∴D(2，)，

由A(－2，－)、D(2，)得

∴y＝－x²＋2x＋.