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如图,直角梯形OABC中,AB∥OC,O为坐标原点,点A在y轴正半轴上,点C在x轴正半轴上,点B坐标为(2,),∠BCO=60°,OH⊥BC于点H.动点P从点H出发,沿线段HO向点O运动,动点Q从点O出发,沿线段OA向点A运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度.设点P运动的时间为t秒.

(1)求OH的长;
(2)若△OPQ的面积为S(平方单位).求S与t之间的函数关系式.并求t为何值时,△OPQ的面积最大,最大值是多少;
(3)设PQ与OB交于点M.①当△OPM为等腰三角形时,求(2)中S的值. ②探究线段OM长度的最大值是多少,直接写出结论.
2

试题分析:(1)∵AB∥OC
∴∠OAB=∠AOC=90°
在Rt△OAB中,AB=2,AO=2 
∴OB=4,∠ABO=60°
∴∠BOC=60°而∠BCO=60°
∴△BOC为等边三角形

∴OH=OBcos30°=4×=2;      2分
(2)∵OP="OH-PH=2" -t
∴Xp="OPcos30°=3-" t   Yp="OPsin30°=" -
∴S= •OQ•Xp= •t•(3- t)
=(o<t<2
当t=时,S最大= ;            5分
(3)①若△OPM为等腰三角形,则:
(i)若OM=PM,∠MPO=∠MOP=∠POC
∴PQ∥OC
∴OQ=yp即t= -
解得:t= 
此时S=
(ii)若OP=OM,∠OPM=∠OMP=75°∴∠OQP=45°
过P点作PE⊥OA,垂足为E,则有:EQ=EP
即t-( - t)="3-" t
解得:t=2
此时S= 
(iii)若OP=PM,∠POM=∠PMO=∠AOB∴PQ∥OA
此时Q在AB上,不满足题意.       10分
②线段PM长的最大值为 .          12分
点评:此题将用待定系数法求二次函数解析式、动点问题和最小值问题相结合,有较大的思维
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,抛物线y=-x2+mx+n与x轴分别交于点A(4,0),B(-2,0),与y轴交于点C.

(1)求该抛物线的解析式;                                 
(2)M为第一象限内抛物线上一动点,点M在何处时,△ACM的面积最大;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P,使得△PAC为直角三角形?若存在,请求出所有可能点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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(1)求所在直线的解析式;
(2)求的值;
(3)当时,求的函数关系式;
(4)如图,设直线交射线于点,交抛物线于点.以为一边,在的右侧作矩形,其中.直接写出矩形重叠部分为轴对称图形时的取值范围.

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(1)求抛物线的解析式;
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(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△APD为等腰三角形?若存在,请直接写出点p的坐标;若不存在,请说明理由。

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科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

函数图象y=ax2+(a-3)x+1与x轴只有一个交点则a的值为     

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科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

二次函数的部分图象如图所示,由图象可知该二次函数的图象的对称轴是直线x       

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科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

已知二次函数的图象如图所示,
下列结论:①   ②   ③    ④    ⑤
其中正确的有(     )个
A.1B.2C.3D.4

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科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

“一般的,如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.——苏科版《数学》九年级(下册)P21”参考上述教材中的话,判断方程x2-2x=-2实数根的情况是
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抛物线与x轴的交点坐标是(-l,0)和(3,0),则此抛物线的对称轴是
A.直线x=-1B.直线x="0" C.直线x=1D.直线x= 3

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