Question

15．如图，△PMN是等边三角形，∠APB=120°．
（1）求证：AM•PB=PN•AP．
（2）若△APB是等腰三角形，求$\frac{AP}{NB}$的值．

Answer 1

分析 （1）由△PMN是等边三角形，∠APB=120°，可得∠AMP=∠PNB=120°，继而证得∠APM=∠B，则可证得△APM∽△PBN，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论；
（2）由△APB是等腰三角形，可得∠A=∠B=30°，继而可得AM=PM=BN=PN，然后过点N作NH⊥PB于点H，即可求得AP=PB=$\sqrt{3}$NB，继而求得答案．

解答 （1）证明：∵△PMN是等边三角形，
∴∠PMN=∠PNM=60°，
∴∠AMP=∠PNB=120°，
∴∠A+∠APM=60°，
∵∠APB=120°，
∴∠A+∠B=60°，
∴∠APM=∠B，
∴△APM∽△PBN，
∴AM：PN=AP：PB，
∴AM•PB=PN•AP．

（2）∵△APB是等腰三角形，∠APB=120°，
∴∠A=∠B=30°，
∵△APM∽△PBN，
∴∠APM=∠A=∠BPN=∠B=30°，
∴AM=PM=BN=PN，
过点N作NH⊥PB于点H，
则BH=BN•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$NB，BH=PH=$\frac{1}{2}$PB，
∴AP=PB=2BH=$\sqrt{3}$NB，
∴$\frac{AP}{NB}$=$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．