Question

【题目】如图1，设是一个锐角三角形，且，为其外接圆，分别为其外心和垂心，为圆直径，为线段上一动点且满足．

（1）证明：为中点；

（2）过作的平行线交于点，若为的中点，证明： ；

（3）直线与圆的另一交点为（如图2），以为直径的圆与圆的另一交点为．证明：若三线共点，则；反之也成立．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

（1）连接AD，BD，得，结合H为垂心，，得出四边形为平行四边形，得到，结合平行，O为CD中点，可得M为BC中点；

（2）过作，由， 为平行四边形，证明H为的垂心，从而得到；

（3）设与交点为，得到，证明H是的垂心，证明三线共点得三点共线，得到．

解：（1）连接，则，

又为垂心

∴，

∴

∴四边形为平行四边形

∴，又为中点

∴为中点

（2）过作

连接，由（1）可知四边形为平行四边形，四边形为平行四边形

∵

∴

∴为垂心

∴

∴

（3）设与交点为

由（1）可知四边形为平行四边形

∴为直径中点

而圆与圆相交弦为

∴

∴

设

则为垂心

∴

三线共点三点共线