Question

【题目】如图1，抛物线y= －x2+bx+c与x轴负半轴交于A点，与x轴正半轴交于B点，与y轴正半轴交于C点，CO＝BO，AB=14．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2, 点M、N在第一象限内抛物线上，M在N点下方，连CM、CN，∠OCN+∠OCM＝180°， 设M点横坐标为m，N点横坐标为n，求m与n的函数关系式(n是自变量)；

（3）如图3, 在(2)条件下，连AN交CO于E，过M作MF⊥AB于F，连BM、EF，若∠AFE＝2∠FMB=2β， 求N点坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）m与n的函数关系式为；（3）的坐标为.

【解析】

（1）根据题目给出条件用一个未知数舍出点A，B，C的坐标，代入解析式求解即可；

（2）根据题目给出特殊条件∠OCN+∠OCM＝180°，得出直线与直线关于直线对称，设点代入即可；

（3）根据二倍角关系，在大角中构造相似三角形，大胆利用一个未知数求出线段长度，利用三角形的角平分线性质求解.

解：（1）设，则；

将代入y= －x2+bx+c得，

；

解得：；

∴抛物线的解析式：；

（2）∵∠OCN+∠OCM＝180°；

可得直线与直线关于对称；

设；

又；

可得；

设；

作点N关于的对称点；

则；

又在上；

；

化简得；

∴m与n的函数关系式为；

（3）；

；

在y正半轴上取一点H使得；

则有；

即；

解得；

设直线AN的解析式为：

由可得；

；

又；

；

又；

；

在中，；

由勾股定理可得；

；

；

又∵∠AFE＝2∠FMB=2β；

平分；

则有；

即；

解得(舍),(舍),(舍),；

；

的坐标为.