Question

【题目】如图，一条抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线的顶点，点在轴上．

（1）求抛物线解析式；

（2）若，求点的坐标；

（3）过点作直线交抛物线于，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）坐标平面内一点到点的距离为1个单位，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或（6，0）；（3）Q（2，3）或或；（4）．

【解析】

解：（1）把A，B，C三点坐标代入求出解析式即可；

（2）先求出直线DB的解析式，再分①当点P在点B左侧时，②当点P在点B右侧时，分别求出P点坐标即可；

（3）分①当四边形APQC为平行四边形时，②当四边形AQPC为平行四边形时两种情况求出Q点坐标；

（4）先证△MBE∽△OBM得到，则当点D、M、E在同一直线上时，最短，求出最小值即可.

解：（1）∵抛物线与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，

∴设此抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），

将点C（0，3）代入，得a=-1，

∴，

（2）∵，

∴顶点D（1，4），

设直线DB解析式为y＝kx+b，

将D（1，4），B（3，0）代入得，，

解得：k＝﹣2，b＝6，

∴直线DB解析式为y＝﹣2x+6，

①如图1﹣1，当点P在点B左侧时，

∵∠PCB＝∠CBD，

∴CP∥BD，

设直线CP解析式为y＝﹣2x+m，

将C（0，3）代入，得m＝3，

∴直线CP解析式y＝﹣2x+3，

当y＝0时，，

∴，

②如图1﹣2，当点P在点B右侧时，

作点P关于直线BC的对称点N，延长CN交x轴于点P'，此时∠P'CB＝∠CBD，

∵C（0，3），B（3，0），

∴OC＝OB，

∴△OBC为等腰直角三角形，

∴∠CPB＝45°，

∴∠NBC＝45°，

∴△PBN为等腰直角三角形，

∴，

∴，

将C（0，3），代入直线CN解析式y＝nx+t，

得：，

解得，，t＝3，

∴直线CN解析式为，

当y＝0时，x＝6，

∴P'（6，0）；

综上所述，点P坐标为或（6，0）；

（3）①如图2﹣1，当四边形APQC为平行四边形时，

∴CQ∥AP，CQ＝AP，

∵yC＝3，

∴yQ＝3，

令﹣x2+2x+3＝3，

解得：x1＝0，x2＝2，

∴Q（2，3），

②如图2﹣2，当四边形AQPC为平行四边形时，

AC∥PQ，AC＝PQ，

∴yC﹣yA＝yP﹣yQ＝3，

∵yP＝0，

∴yQ＝﹣3，

令﹣x2+2x+3＝﹣3，

解得，，，

∴，

综上所述，点Q的坐标为Q（2，3）或或；

（4）∵点M到点B的距离为1个单位，

∴点M在以点B为圆心，半径为1的圆上运动，如图3

在x轴上作点，连接BM、EM、DE，

∴，

∵BM＝1，

∴，

∵∠MBE＝∠OBM，

∴△MBE∽△OBM，

∴，

∴，

∴，

∴当点D、M、E在同一直线上时，最短，

∵D（1，4），

∴，

∴的最小值为．