【题目】如图,四边形是矩形
(1)如图1,、分别是、上的点,,垂足为,连接.
①求证:;
②若为的中点,求证:;
(2)如图2,将矩形沿折叠,点落在点处,点落在边的点处,连接交于点,是的中点.若,,直接写出的最小值为 .
【答案】(1) ①见解析;②见解析;(2)
【解析】
(1)①证明△FBC∽△ECD可得结论.
②想办法证明∠AEB=∠AGB,可得sin∠AGB=sin∠AEB=.
(2)如图2中,取AB的中点T,连接PT,CP.因为四边形MNSR与四边形MNBA关于MN对称,T是AB中点,Q是SR中点,所以PT=PQ,MN垂直平分线段BS,推出BP=PS,由∠BCS=90°,推出PC=PS=PB,推出PQ+PS=PT+PC,当T,P,C共线时,PQ+PS的值最小.
(1)①证明:如图1中,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠CDE=∥BCF=90°,
∵BF⊥CE,
∴∠BGC=90°,
∴∠BCG+∠FBC=∠BCG+∠ECD=90°,
∴∠FBC=∠ECD,
∴△FBC∽△ECD,
∴.
②证明:如图1中,连接BE,GD.
∵BF⊥CE,EG=CG,
∴BF垂直平分线段EC,
∴BE=CB,∠EBG=∠CBG,
∵DG=CG,
∴∠CDG=∠GCD,
∵∠ADG+∠CDG=90°,∠BCG+∠ECD=90°,
∴∠ADG=∠BCG,
∵AD=BC,
∴△ADG≌△BCG(SAS),
∴∠DAG=∠CBG,
∴∠DAG=∠EBG,
∴∠AEB=∠AGB,
∴sin∠AGB=sin∠AEB=
(2)如图2中,取AB的中点T,连接PT,CP.
∵四边形MNSR与四边形MNBA关于MN对称,T是AB中点,Q是SR中点,
∴PT=PQ,MN垂直平分线段BS,
∴BP=PS,
∵∠BCS=90°,
∴PC=PS=PB,
∴PQ+PS=PT+PC,
当T,P,C共线时,PQ+PS的值最小,最小值=,
∴PQ+PS的最小值为.
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【题目】如图1是一款“雷达式”懒人椅.当懒人椅完全展开时,其侧面示意图如图2所示,金属杆AB、CD在点O处连接,且分别与金属杆EF在点B,D处连接.金属杆CD的OD部分可以伸缩(即OD的长度可变).已知OA=50cm,OB=20cm,OC=30cm.DE=BF=5cm.当把懒人椅完全叠合时,金属杆AB,CD,EF重合在一条直线上(如图3所示),此时点E和点A重合.
(1)如图2,已知∠BOD=6∠ODB,∠OBF=140°.
①求∠AOC的度数.
②求点A,C之间的距离.
(2)如图3,当懒人椅完全叠合时,求CF与CD的长.
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【题目】如图1,抛物线y= -x2+bx+c与x轴负半轴交于A点,与x轴正半轴交于B点,与y轴正半轴交于C点,CO=BO,AB=14.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2, 点M、N在第一象限内抛物线上,M在N点下方,连CM、CN,∠OCN+∠OCM=180°, 设M点横坐标为m,N点横坐标为n,求m与n的函数关系式(n是自变量);
(3)如图3, 在(2)条件下,连AN交CO于E,过M作MF⊥AB于F,连BM、EF,若∠AFE=2∠FMB=2β, 求N点坐标.
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【题目】某课外学习小组根据学习函数的经验,对函数的图象与性质进行了探究请补充完整以下探索过程:
(1)列表:
x | … | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
y | … | m | 0 | -3 | -4 | -3 | 0 | -3 | -4 | n | 0 | … |
直接写出________,________;
(2)根据上表中的数据,在平面直角坐标系内补全该函数的图象,并结合图象写出该函数的两条性质:
性质1______________________________________________________
性质2_______________________________________________________
(3)若方程有四个不同的实数根,请根据函数图象,直接写出k的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线y=x与双曲线y=(k≠0)的一个交点为P(,n).将直线向上平移b(0>0)个单位长度后,与x轴,y轴分别交于点A,点B,与双曲线的一个交点为Q.若AQ=3AB,则b=____.
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【题目】如图,在⊙O中,点A、点B在⊙O上,∠AOB=90°,OA=6,点C在OA上,且OC=2AC,点D是OB的中点,点M是劣弧AB上的动点,则CM+2DM的最小值为_______.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴交于A(﹣2,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C,且OC=2OA.
(1)试求抛物线的解析式;
(2)直线y=kx+1(k>0)与y轴交于点D,与抛物线交于点P,与直线BC交于点M,记m=,试求m的最大值及此时点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,点Q是x轴上的一个动点,点N是坐标平面内的一点,是否存在这样的点Q、N,使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形?如果存在,请求出点N的坐标;如果不存在,请说明理由.
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【题目】某教研机构为了了解初中生课外阅读名著的现状,随机抽取了某校50名初中生进行调查,依据相关数据绘制成了以下不完整的统计图,请根据图中信息解答下列问题:
类别 | 重视 | 一般 | 不重视 |
人数 | a | 15 | b |
(1)求表格中a,b的值;
(2)请补全统计图;
(3)若某校共有初中生2000名,请估计该校“重视课外阅读名著”的初中生人数.
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