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【题目】如图,四边形是矩形

(1)如图1分别是上的点,,垂足为,连接

求证:

的中点,求证:

(2)如图2,将矩形沿折叠,点落在点处,点落在边的点处,连接于点的中点.,直接写出的最小值为

【答案】(1) ①见解析;见解析;(2)

【解析】

1证明△FBC∽△ECD可得结论.

想办法证明∠AEB=∠AGB,可得sinAGBsinAEB

2)如图2中,取AB的中点T,连接PTCP.因为四边形MNSR与四边形MNBA关于MN对称,TAB中点,QSR中点,所以PTPQMN垂直平分线段BS,推出BPPS,由∠BCS90°,推出PCPSPB,推出PQ+PSPT+PC,当TPC共线时,PQ+PS的值最小.

1证明:如图1中,

∵四边形ABCD是矩形,

∴∠CDE=∥BCF90°,

BFCE

∴∠BGC90°,

∴∠BCG+FBC=∠BCG+ECD90°,

∴∠FBC=∠ECD

∴△FBC∽△ECD

证明:如图1中,连接BEGD

BFCEEGCG

BF垂直平分线段EC

BECB,∠EBG=∠CBG

DGCG

∴∠CDG=∠GCD

∵∠ADG+CDG90°,∠BCG+ECD90°,

∴∠ADG=∠BCG

ADBC

∴△ADG≌△BCGSAS),

∴∠DAG=∠CBG

∴∠DAG=∠EBG

∴∠AEB=∠AGB

sinAGBsinAEB

2)如图2中,取AB的中点T,连接PTCP

∵四边形MNSR与四边形MNBA关于MN对称,TAB中点,QSR中点,

PTPQMN垂直平分线段BS

BPPS

∵∠BCS90°,

PCPSPB

PQ+PSPT+PC

TPC共线时,PQ+PS的值最小,最小值=

PQ+PS的最小值为

练习册系列答案
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【题目】如图1是一款雷达式懒人椅.当懒人椅完全展开时,其侧面示意图如图2所示,金属杆ABCD在点O处连接,且分别与金属杆EF在点BD处连接.金属杆CDOD部分可以伸缩(即OD的长度可变).已知OA50cmOB20cmOC30cmDEBF5cm.当把懒人椅完全叠合时,金属杆ABCDEF重合在一条直线上(如图3所示),此时点E和点A重合.

1)如图2,已知∠BOD6ODB,∠OBF140°

①求∠AOC的度数.

②求点AC之间的距离.

2)如图3,当懒人椅完全叠合时,求CFCD的长.

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【题目】如图1,抛物线y= x2+bx+cx轴负半轴交于A点,与x轴正半轴交于B点,与y轴正半轴交于C点,COBOAB=14

1)求抛物线的解析式;

2)如图2, MN在第一象限内抛物线上,MN点下方,连CMCN,∠OCN+OCM180° M点横坐标为mN点横坐标为n,求mn的函数关系式(n是自变量)

3)如图3, (2)条件下,连ANCOE,过MMFABF,连BMEF,若∠AFE2FMB=2β N点坐标.

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【题目】某课外学习小组根据学习函数的经验,对函数的图象与性质进行了探究请补充完整以下探索过程:

1)列表:

x

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

y

m

0

-3

-4

-3

0

-3

-4

n

0

直接写出________________

2)根据上表中的数据,在平面直角坐标系内补全该函数的图象,并结合图象写出该函数的两条性质:

性质1______________________________________________________

性质2_______________________________________________________

3)若方程有四个不同的实数根,请根据函数图象,直接写出k的取值范围.

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【题目】如图,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,连接CD.,则的大小是___

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【题目】在平面直角坐标系中,直线yx与双曲线yk0)的一个交点为Pn).将直线向上平移b00)个单位长度后,与x轴,y轴分别交于点A,点B,与双曲线的一个交点为Q.若AQ3AB,则b____

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【题目】如图,在⊙O中,点A、点B在⊙O上,∠AOB90°OA6,点COA上,且OC2AC,点DOB的中点,点M是劣弧AB上的动点,则CM+2DM的最小值为_______

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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+ca0)与x轴交于A﹣20)、B40)两点,与y轴交于点C,且OC=2OA

1)试求抛物线的解析式;

2)直线y=kx+1k0)与y轴交于点D,与抛物线交于点P,与直线BC交于点M,记m=,试求m的最大值及此时点P的坐标;

3)在(2)的条件下,点Qx轴上的一个动点,点N是坐标平面内的一点,是否存在这样的点QN,使得以PDQN四点组成的四边形是矩形?如果存在,请求出点N的坐标;如果不存在,请说明理由.

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【题目】某教研机构为了了解初中生课外阅读名著的现状,随机抽取了某校50名初中生进行调查,依据相关数据绘制成了以下不完整的统计图,请根据图中信息解答下列问题:

类别

重视

一般

不重视

人数

a

15

b

1)求表格中ab的值;

2)请补全统计图;

3)若某校共有初中生2000名,请估计该校重视课外阅读名著的初中生人数.

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