【题目】如图,直线l1⊥x轴于点A(2,0),点B是直线l1上的动点.直线l2:y=x+1交l1于点C,过点B作直线l3垂直于l2 , 垂足为D,过点O,B的直线l4交l2于点E,当直线l1 , l2 , l3能围成三角形时,设该三角形面积为S1 , 当直线l2 , l3 , l4能围成三角形时,设该三角形面积为S2 .
(1)若点B在线段AC上,且S1=S2 , 则B点坐标为;
(2)若点B在直线l1上,且S2= S1 , 则∠BOA的度数为 .
【答案】
(1)(2,0)
(2)15°或75°
【解析】解:(1.)设B的坐标是(2,m),
∵直线l2:y=x+1交l1于点C,
∴∠ACE=45°,
∴△BCD是等腰直角三角形.
BC=|3﹣m|,
则BD=CD= BC=
|3﹣m|,
S1= ×(
|3﹣m|)2=
(3﹣m)2 .
设直线l4的解析式是y=kx,过点B,
则2k=m,解得:k= ,
则直线l4的解析式是y= x.
根据题意得: ,解得:
,
则E的坐标是( ,
).
S△BCE= BC|
|=
|3﹣m||
|=
.
∴S2=S△BCE﹣S1= ﹣
(3﹣m)2 .
当S1=S2时, ﹣
(3﹣m)2=
(3﹣m)2 .
解得:m1=4或m2=0,
易得点C坐标为(2,3),即AC=3,
∵点B在线段AC上,
∴m1=4不合题意舍去,
则B的坐标是(2,0);
(2.)分三种情况:
①当点B在线段AC上时
当S2= S1时,
﹣
(3﹣m)2=
(3﹣m)2 .
解得:m=4﹣2 或2
(不在线段AC上,舍去),或m=3(l2和l4重合,舍去).
则AB=4﹣2 .
在OA上取点F,使OF=BF,连接BF,设OF=BF=x.
则AF=2﹣x,根据勾股定理, ,
解得: ,
∴sin∠BFA= ,
∴∠BFA=30°,
∴∠BOA=15°;
②当点B在AC延长线上时,
此时,
当S2= S1时,得:
,
解得符合题意有:AB=4+2 .
在AB上取点G,使BG=OG,连接OG,设BG=OG=x,
则AG=4+2 ﹣x.根据勾股定理,得
,
解得:x=4,
∴sin∠OGA= ,
∴∠OGA=30°,
∴∠OBA=15°,
∴∠BOA=75°;
③当点B在CA延长线上时,S1>S2 ,
此时满足条件的点B不存在,
综上所述,∠BOA的度数为15°或75°.
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【题目】点A,B,C都在半径为r的圆上,直线AD⊥直线BC,垂足为D,直线BE⊥直线AC,垂足为E,直线AD与BE相交于点H.若BH= AC,则∠ABC所对的弧长等于(长度单位).
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【题目】如图,已知直线lAC:y=﹣交x轴、y轴分别为A、C两点,直线BC⊥AC交x轴于点B.
(1)求点B的坐标及直线BC的解析式;
(2)将△OBC关于BC边翻折,得到△O′BC,过点O′作直线O′E垂直x轴于点E,F是y轴上一点,P是直线O′E上任意一点,P、Q两点关于x轴对称,当|PA﹣PC|最大时,请求出QF+FC的最小值;
(3)若M是直线O′E上一点,且QM=3,在(2)的条件下,在平面直角坐标系中,是否存在点N,使得以Q、F、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】为迎接中国森博会,某商家计划从厂家采购A,B两种产品共20件,产品的采购单价(元/件)是采购数量(件)的一次函数,下表提供了部分采购数据.
采购数量(件) | 1 | 2 | … |
A产品单价(元/件) | 1480 | 1460 | … |
B产品单价(元/件) | 1290 | 1280 | … |
(1)设A产品的采购数量为x(件),采购单价为y1(元/件),求y1与x的关系式;
(2)经商家与厂家协商,采购A产品的数量不少于B产品数量的 ,且A产品采购单价不低于1200元,求该商家共有几种进货方案;
(3)该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价售出A,B两种产品,且全部售完,在(2)的条件下,求采购A种产品多少件时总利润最大,并求最大利润.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,△ABC的两个顶点A,B的坐标分别为(﹣2,0),(﹣1,0),BC⊥x轴,将△ABC以y轴为对称轴作轴对称变换,得到△A′B′C′(A和A′,B和B′,C和C′分别是对应顶点),直线y=x+b经过点A,C′,则点C′的坐标是 .
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【题目】对反比例函数 ,下列说法不正确的是( )
A.它的图象在第一、三象限
B.点(﹣1,﹣4)在它的图象上
C.当x<0时,y随x的增大而减小
D.当x>0时,y随x的增大而增大
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【题目】抛物线y=(x﹣3)(x+1)与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,点D为顶点.
(1)求点B及点D的坐标.
(2)连结BD,CD,抛物线的对称轴与x轴交于点E.
①若线段BD上一点P,使∠DCP=∠BDE,求点P的坐标.
②若抛物线上一点M,作MN⊥CD,交直线CD于点N,使∠CMN=∠BDE,求点M的坐标.
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